Дано положительное число a. известно, что уравнение x3+1=ax имеет ровно два положительных корня, и отношение большего из них к меньшему равно 2018. уравнение x3+1=ax2 также имеет ровно два положительных корня. докажите, что отношение большего из них к меньшему также равно 2018.
Обозначим положительные корни второго уравнения как
и
. Так как сами корни положительны, то и
,
тоже положительны и не равны.
Подставим эти корни во второе уравнение, получатся уравнения вида
Умножим это уравнение на положительное число вида
, получим первое уравнение:
Поскольку
и
- положительные неравные числа, то они и являются корнями первого уравнения. По условию, отношение большего к меньшему равно 2018, пусть для определённости
. Тогда отношение корней второго уравнения равно
P.S. на самом деле, из условия можно определить значение a. Оно оказывается равным