. Дано уравнение прямолинейного движения тела:, S=2t^3-8t+2, где S- путь, пройденный телом, м; t- время, с. Найдите скорость тела в момент времени t=3 c. 2. Точка движется по закону S=1/4t^4+1/3t^3+1/2t^2+2 Найти скорость и ускорение через 3 с после начала движения (движение считать прямолинейным).
3. Пусть q=t^3 - 4t +8- количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время . Найдем силу тока в данный момент времени =2c.
4. Пусть дан неоднородный стержень длины , масса неоднородного стержня меняется по закону: m=2x^3 -8x +12. Найти линейную плотность стержня в данной точке =4
5. Прибыль фирмы задана зависимостью : F(q) =4 q^2 - 4q + 12. Найти оптимальный объём производства N фирмы.
S'(t) = 6t^2 - 8.
Теперь подставим t = 3 в производную, чтобы найти скорость:
S'(3) = 6(3)^2 - 8 = 54 - 8 = 46.
Таким образом, скорость тела в момент времени t=3 с будет равна 46 м/с.
2. Аналогично первому вопросу, чтобы найти скорость и ускорение через 3 с после начала движения, мы должны взять производные от уравнения пути S по времени t дважды.
Производная функции S(t) = 1/4t^4 + 1/3t^3 + 1/2t^2 + 2 по времени t будет равна:
S'(t) = t^3 + t^2 + t.
Производная этой функции S'(t) по времени t будет равна:
S''(t) = 3t^2 + 2t + 1.
Теперь подставим t = 3 в обе производные, чтобы найти скорость и ускорение:
S'(3) = (3)^3 + (3)^2 + (3) = 27 + 9 + 3 = 39 м/c.
S''(3) = 3(3)^2 + 2(3) + 1 = 27 + 6 + 1 = 34 м/c^2.
Таким образом, скорость через 3 с после начала движения будет равна 39 м/с, а ускорение будет равно 34 м/с^2.
3. Чтобы найти силу тока в данный момент времени t=2 с, нам нужно найти производную от количества электричества q по времени t и подставить t=2.
Производная функции q(t) = t^3 - 4t +8 по времени t будет равна:
q'(t) = 3t^2 - 4.
Теперь подставим t=2, чтобы найти силу тока:
q'(2) = 3(2)^2 - 4 = 12 - 4 = 8.
Таким образом, сила тока в данный момент времени t=2 с будет равна 8 Ампер.
4. Чтобы найти линейную плотность стержня в данной точке x=4, мы должны найти производную от массы m по координате x и подставить x=4.
Производная функции m(x) = 2x^3 - 8x + 12 по координате x будет равна:
m'(x) = 6x^2 - 8.
Теперь подставим x=4, чтобы найти линейную плотность стержня:
m'(4) = 6(4)^2 - 8 = 96 - 8 = 88.
Таким образом, линейная плотность стержня в данной точке x=4 будет равна 88.
5. Чтобы найти оптимальный объем производства N фирмы, мы должны найти максимум или минимум функции прибыли F(q). Для этого возьмем производную от функции F(q) и приравняем ее к нулю.
Производная функции F(q) = 4q^2 - 4q + 12 по переменной q будет равна:
F'(q) = 8q - 4.
Теперь приравняем F'(q) к нулю и решим уравнение:
8q - 4 = 0
8q = 4
q = 4/8
q = 1/2.
Таким образом, оптимальный объем производства N фирмы будет равен 1/2.