Даны четыре точки A (7,2,2) B (-5,7,-7) C (5,-3,1) D (2,3,7). Составить уравнения: 1) плоскости ABC ; 2) прямой AB ; 3) найти расстояние от точки D до плоскости ABC .

Даны четыре точки A (7,2,2) B (-5,7,-7) C (5,-3,1) D (2,3,7).

Составить уравнения:

1) плоскости ABC по точкам  A (7,2,2) B (-5,7,-7) C (5,-3,1);

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA        y - yA      z - zA

xB - xA      yB - yA      zB - zA

xC - xA      yC - yA      zC - zA

 = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 7           y - 2        z - 2

(-5) - 7       7 - 2       (-7) - 2

5 - 7         (-3) - 2         1 - 2

 = 0

x - 7        y - 2      z - 2

-12        5       -9

-2      -5     -1

 = 0

x - 7  5·(-1)-(-9)·(-5)  -  y - 2  (-12)·(-1)-(-9)·(-2)  +  z - 2  (-12)·(-5)-5·(-2)  = 0

(-50) x - 7  + 6 y - 2  + 70 z - 2  = 0

 - 50x + 6y + 70z + 198 = 0  или, сократив на 2

25x - 3y - 35z - 99 = 0

2) прямой AB по точкам A (7,2,2) и B (-5,7,-7) ;

Вектор АВ найден в п. 1: (-1; 5; -9).

(x - 7)/(-1) = (y - 2)/5 = (z - 2)/(-9).

3) найти расстояние от точки D до плоскости ABC .

Нормальный вектор плоскости АВС   (25; -3; -35) найден в п, 1.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0  используем формулу:

d =   |A·Mx + B·My + C·Mz + D| /√(A² + B² + C²)  

Подставим в формулу данные:

d =   |25·2 + (-3)·3 + (-35)·7 + (-99)|/ √(25² + (-3)² + (-35)²)  =  

|50 - 9 - 245 - 99| /√(625 + 9 + 1225)  =

=   303/ √1859  =   303√11/ 143  ≈ 7.0275336.