Даны два единичных вектора m¯ и n¯ угол между которыми 120°. Найти: а) острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a¯=−2m¯+n¯ и b¯=m¯+2n¯ ;
б) проекцию вектора b¯ на направление вектора a¯
Выберите один ответ:
1) arccos√3/11, √11
2) arccos√3/5, √5
3) arccos√3/7, √7
4) arccos√3/8, √8
а) Нам нужно найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a¯=−2m¯+n¯ и b¯=m¯+2n¯.
Для начала найдем векторы диагоналей параллелограмма. Обозначим их как c¯ и d¯.
c¯ = a¯ + b¯
= (-2m¯ + n¯) + (m¯ + 2n¯)
= -2m¯ + m¯ + n¯ + 2n¯
= -m¯ + 3n¯
d¯ = a¯ - b¯
= (-2m¯ + n¯) - (m¯ + 2n¯)
= -2m¯ + n¯ - m¯ - 2n¯
= -3m¯ - n¯
Теперь мы можем использовать формулу для нахождения угла между векторами:
cosθ = (c¯ · d¯) / (||c¯|| ||d¯||)
где θ - искомый острый угол между диагоналями параллелограмма, · - скалярное произведение векторов, || || - длина вектора.
Найдем сначала длины векторов:
||c¯|| = sqrt((-m¯ + 3n¯) · (-m¯ + 3n¯))
= sqrt((-m¯) · (-m¯) + (-m¯) · (3n¯) + (3n¯) · (-m¯) + (3n¯) · (3n¯))
= sqrt(m¯ · m¯ - 3m¯ · n¯ - 3m¯ · n¯ + 9n¯ · n¯)
= sqrt(1 - 6m¯ · n¯ + 9)
= sqrt(10 - 6m¯ · n¯)
||d¯|| = sqrt((-3m¯ - n¯) · (-3m¯ - n¯))
= sqrt((-3m¯) · (-3m¯) + (-3m¯) · (-n¯) + (-n¯) · (-3m¯) + (-n¯) · (-n¯))
= sqrt(9m¯ · m¯ + 3m¯ · n¯ + 3m¯ · n¯ + n¯ · n¯)
= sqrt(9 - 6m¯ · n¯ + m¯ · m¯ + n¯ · n¯)
= sqrt(10 - 6m¯ · n¯)
Теперь найдем скалярное произведение векторов:
(c¯ · d¯) = (-m¯ + 3n¯) · (-3m¯ - n¯)
= m¯ · m¯ + 3m¯ · n¯ + 3n¯ · (-3m¯) + 3n¯ · (-n¯)
= 1 - 6m¯ · n¯ - 9
= -8 - 6m¯ · n¯
Подставим все значения в формулу для нахождения cosθ:
cosθ = (-8 - 6m¯ · n¯) / (sqrt(10 - 6m¯ · n¯) * sqrt(10 - 6m¯ · n¯))
Так как мы знаем, что угол между векторами m¯ и n¯ составляет 120°, мы можем использовать соотношение между косинусом угла и их скалярным произведением:
cos120° = (-m¯ · n¯) / (||m¯|| ||n¯||)
Подставим значения:
-1/2 = (-m¯ · n¯) / (1 * 1)
m¯ · n¯ = 1/2
Теперь мы можем заменить m¯ · n¯ в формуле для cosθ:
cosθ = (-8 - 6 * 1/2) / (sqrt(10 - 6 * 1/2) * sqrt(10 - 6 * 1/2))
= (-8 - 3) / (sqrt(10 - 3) * sqrt(10 - 3))
= -11 / (sqrt(7) * sqrt(7))
= -11 / 7
= -1 4/7
Так как нам нужен острый угол, возьмем обратный косинус (-1 4/7):
θ = arccos(-11/7)
Ответом будет 3) arccos(-11/7).
б) Теперь давайте найдем проекцию вектора b¯ на направление вектора a¯.
Проекция вектора b¯ на направление вектора a¯ вычисляется по формуле:
proj_a(b¯) = ((b¯ · a¯) / ||a¯||^2) * a¯
где proj_a(b¯) - проекция вектора b¯ на направление вектора a¯, · - скалярное произведение векторов, || || - длина вектора.
Найдем сначала длину вектора a¯:
||a¯|| = sqrt((-2m¯ + n¯) · (-2m¯ + n¯))
= sqrt((-2m¯) · (-2m¯) + (-2m¯) · (n¯) + (n¯) · (-2m¯) + (n¯) · (n¯))
= sqrt(4m¯ · m¯ - 2m¯ · n¯ - 2m¯ · n¯ + n¯ · n¯)
= sqrt(4 - 4m¯ · n¯ + 1)
= sqrt(5 - 4m¯ · n¯)
Теперь найдем скалярное произведение векторов:
(b¯ · a¯) = (m¯ + 2n¯) · (-2m¯ + n¯)
= -2m¯ · m¯ + m¯ · n¯ + 4n¯ · m¯ + 2n¯ · n¯
= -2 + 1 - 2m¯ · n¯ + 2
= 1 - 2m¯ · n¯
Подставим все значения в формулу для нахождения proj_a(b¯):
proj_a(b¯) = ((1 - 2m¯ · n¯) / (sqrt(5 - 4m¯ · n¯))^2) * (-2m¯ + n¯)
Упростим:
proj_a(b¯) = ((1 - 2m¯ · n¯) / (5 - 4m¯ · n¯)) * (-2m¯ + n¯)
Видим, что упрощений больше сделать нельзя, потому что это самая упрощенная запись.
Ответом будет б) проекция вектора b¯ на направление вектора a¯: ((1 - 2m¯ · n¯) / (5 - 4m¯ · n¯)) * (-2m¯ + n¯).
Надеюсь, мой ответ был понятен для вас. Если у вас остались вопросы, пожалуйста, задайте их.