Даны две группы подряд расположенных натуральных чисел, в каждой по k чисел. при некоторых k эти группы чисел можно, при необходимости изменив порядок, подписать одну под другой так, что, сложив стоящие друг под другом числа, получится снова k натуральных чисел, идущих подряд. сколько таких k, не превосходящих 2013?

Можно думать, что в каждой группе написаны числа от одного до k: если в одной строке все числа уменьшить на одно и то же число, то в итоговой строке все числа уменьшатся на это же самое число, и получатся всё равно идущие подряд числа.

Сумма чисел в каждой из исходных групп k(k + 1)/2,значит, сумма чисел в получившейся группе k(k + 1). По условию получились опять последовательные числа, сумма k последовательных чисел от a до a + k - 1 равна k (2a + k - 1)/2.
Сравниваем два выражения:
k (2a + k - 1)/2 = k(k + 1)
2a + k - 1 = 2k + 2
2a = k + 3
a = (k + 3)/2

a должно быть целым, тогда k - нечётно, k = 2l + 1, a = l + 2. 

Пример, как получить ответ при любом нечётном k:
Первая строка:
1, l + 2, 2, l + 3, 3, l + 4, ..., l, 2l + 1, l + 1 (записаны через один числа от 1 до l + 1 и от l + 2 до 2l + 1)
Вторая строка:
l + 1, 1, l + 2, 2, l + 3, 3, ...,  2l, l, 2l + 1 (записаны через один числа от l + 1 до 2l + 1 и от 1 до l)
Результат:
l + 2, l + 3, l + 4, l + 5, l + 6, l + 7, ..., 3l, 3l + 1, 3l + 2.

От 1 до 2013 есть (2013 + 1)/2 = 1007 нечетных чисел.

ответ. 1007.