Даны функция z=2xy+3y^2-5x, и две точки А(3,4), В(3,04;3,95). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке В; 2) вычислить приближенное значение функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А и заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции её дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности в точке ; 5) линеаризовать данную функцию в окрестности точки А. 6) найти градиент и производную функции z f (x; y) в точке А0 по направлению вектора l (1; 1) .
z1 = 2 * (3,04) * (3,95) + 3 * (3,95)^2 - 5 * (3,04)
= 23,968 + 46,8025 - 15,2
= 55,5705
Ответ: значение z1 в точке В равно 55,5705.
2) Для вычисления приближенного значения функции в точке В, используем дифференциал функции и значение z0 в точке А.
Дифференциал функции z:
dz = ∂z/∂x * dx + ∂z/∂y * dy
= (2y - 5) * dx + (2x + 6y) * dy
Переход от точки А к точке В:
dx = x1 - x0 = 3,04 - 3 = 0,04
dy = y1 - y0 = 3,95 - 4 = -0,05
Подставим значения dx и dy в дифференциал функции и заменим приращение функции при переходе от точки А к точке В:
dz = (2(4) - 5) * 0,04 + (2(3) + 6(4)) * (-0,05)
= (8 - 5) * 0,04 + (6 + 24) * (-0,05)
= 0,12 - 1,5
= -1,38
Приближенное значение функции в точке В:
z1 ≈ z0 + dz
= z0 - 1,38
Ответ: приближенное значение функции в точке В, исходя из значения z0 функции в точке А и заменой приращения функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом, равно z0 - 1,38.
3) Оценка относительной погрешности при замене приращения функции её дифференциалом:
Относительная погрешность = (|приращение функции - приближенное значение функции| / |приращение функции|) * 100%
В нашем случае:
Приращение функции = z1 - z0
= 55,5705 - z0
Приближенное значение функции = z0 - 1,38
Относительная погрешность = (|55,5705 - z0 - (z0 - 1,38)| / |55,5705 - z0|) * 100%
Ответ: для оценки относительной погрешности необходимо знать значение z0 в точке А.
4) Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке В может быть найдено с использованием частных производных функции z по x и y.
Частная производная по x (∂z/∂x):
∂z/∂x = 2y - 5
Частная производная по y (∂z/∂y):
∂z/∂y = 2x + 6y
Вычислим значения частных производных в точке В (3,04;3,95):
∂z/∂x = 2(3,95) - 5
= 7,9 - 5
= 2,9
∂z/∂y = 2(3,04) + 6(3,95)
= 6,08 + 23,7
= 29,78
Уравнение касательной плоскости:
z - z1 = ∂z/∂x * (x - x1) + ∂z/∂y * (y - y1)
Подставим значения в уравнение:
z - 55,5705 = 2,9 * (x - 3,04) + 29,78 * (y - 3,95)
Ответ: уравнение касательной плоскости к поверхности в точке В равно z - 55,5705 = 2,9(x - 3,04) + 29,78(y - 3,95).
5) Линеаризация функции в окрестности точки А может быть выполнена с использованием частных производных функции z по x и y.
Линеаризованная функция:
L(x, y) = z0 + ∂z/∂x * (x - x0) + ∂z/∂y * (y - y0)
Где z0 - значение функции в точке А, ∂z/∂x и ∂z/∂y - частные производные функции по x и y.
Подставим значения исходной функции и частных производных в уравнение линеаризованной функции:
L(x, y) = z0 + (2y - 5)(x - x0) + (2x + 6y)(y - y0)
Ответ: линеаризованная функция в окрестности точки А равна L(x, y) = z0 + (2y - 5)(x - x0) + (2x + 6y)(y - y0).
6) Для нахождения градиента и производной функции z = f(x, y) в точке А0 по направлению вектора l (1, -1), используем частные производные функции по x и y.
Градиент функции:
∇f = (∂z/∂x, ∂z/∂y)
Частные производные функции по x и y:
∂z/∂x = 2y - 5
∂z/∂y = 2x + 6y
Вычислим значения ∂z/∂x и ∂z/∂y в точке А (3, 4):
∂z/∂x = 2(4) - 5
= 8 - 5
= 3
∂z/∂y = 2(3) + 6(4)
= 6 + 24
= 30
Подставим значения вектора l и частных производных в уравнение градиента и производной:
∇f(A0) = ∂z/∂x * l1 + ∂z/∂y * l2
= 3 * 1 + 30 * (-1)
= 3 - 30
= -27
Полученное значение является производной функции z = f(x, y) в точке А0 по направлению вектора l (1, -1).
Ответ: градиент функции z = f(x, y) в точке А0 равен -27. Производная функции в точке А0 по направлению вектора l (1, -1) также равна -27.