Даны катеты прямоугольного треугольника a и b равны в этот треугольник вписан прямоугольник, две вершины которого лежат на катетах, а одна из сторон- на гипотенузе треугольника. какую наибольшую площадь может иметь этот прямоугольник?

Если катеты прямоугольного треугольника равны, меньшие стороны прямоугольника будут делить своими вершинами катеты по палам, а их длина будет равно 1/2 длины катетов.
в равнобедренных прямоугольных треугольниках, высота, проведенная к гипотенузе будет являться и медианой, то есть разделит этот треугольник на 2 равных равнобедренных прямоугольных треугольниках с катетами равными 1/2a.
эта же высота разделит вписанный прямоугольник на 2 равных квадрата. площадь каждого такого квадрата будет равна 1/4 от площади изначального треугольника.
следовательно площадь всего прямоугольника равна 1/2  от площади изначального равнобедренного прямоугольного треугольника.
ответ: 1/2 от площади треугольника