Даны нат числа от 1 до n n-четное найдите сумму - вопрос №12525838 от Vinyl98 02.09.2020 01:43

Question

Математика: Даны нат числа от 1 до n n-четное найдите сумму произведений чисел симетричных относительно середины например для чисел от 1 до 9 это сумма 9*1+8*2+7**6

Vinyl98 · Answer

Пусть

некое число , так как оно четное то получим конечное число пар .
Воспользуемся тем что сумма крайних членов равна то есть
$1;2;3;4;5;6;7;8;\\
 1+8=2+7=3+6=4+5$
тогда каждый член суммы можно записать как
$1*8=\frac{(1+8)^2-(1^2+8^2)}{2}$ и так далее выражая все члены и сумимируя , получим четверть всех пар, а так как по известной формуле
$1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+...n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ то есть наша сумма в итоге будет равна
$S=\frac{n}{4}*(n+1)^2-\frac{n(n+1)(2n+1)}{12}=\frac{3n(n+1)^2-n(n+1)(2n+1)}{12} = \frac{n(n+1)(n+2)}{12}$