Даны точки A(3;-1;2);B(4;0;4);C(-1;9;-1);D(3;-2;-2)
1 Найти линейную комбинацию векторов AB -3 BC +4 CD
2 Найти длины векторов AB , BC и CD.
3 Найти косинусы углов между векторами AB и BC , BC и CD .
4 Найти (AB+CD)*AD
5 Выяснить, коллинеарны ли векторы AB и CD
6 Выяснить, ортогональны ли векторы AB и CD
AB = B - A = (4, 0, 4) - (3, -1, 2) = (1, 1, 2)
BC = C - B = (-1, 9, -1) - (4, 0, 4) = (-5, 9, -5)
CD = D - C = (3, -2, -2) - (-1, 9, -1) = (4, -11, -1)
Теперь найдем линейную комбинацию векторов AB - 3BC + 4CD:
AB - 3BC + 4CD = (1, 1, 2) - 3(-5, 9, -5) + 4(4, -11, -1)
= (1, 1, 2) + (15, -27, 15) + (16, -44, -4)
= (1 + 15 + 16, 1 - 27 - 44, 2 + 15 - 4)
= (32, -70, 13)
Ответ: линейная комбинация векторов AB - 3BC + 4CD равна вектору (32, -70, 13).
2. Найдем длины векторов AB, BC и CD:
|AB| = √(1² + 1² + 2²) = √(1 + 1 + 4) = √6
|BC| = √((-5)² + 9² + (-5)²) = √(25 + 81 + 25) = √131
|CD| = √(4² + (-11)² + (-1)²) = √(16 + 121 + 1) = √138
Ответ: длины векторов AB, BC и CD равны √6, √131 и √138 соответственно.
3. Найдем косинусы углов между векторами AB и BC, BC и CD:
cos(θ_AB-BC) = (AB · BC) / (|AB| * |BC|)
AB · BC = (1 * -5) + (1 * 9) + (2 * -5) = -5 + 9 - 10 = -6
|AB| * |BC| = √6 * √131 = √786
cos(θ_AB-BC) = -6 / √786
cos(θ_BC-CD) = (BC · CD) / (|BC| * |CD|)
BC · CD = (-5 * 4) + (9 * -11) + (-5 * -1) = -20 - 99 + 5 = -114
|BC| * |CD| = √131 * √138 = √18078
cos(θ_BC-CD) = -114 / √18078
Ответ: косинусы углов между векторами AB и BC, BC и CD равны -6 / √786 и -114 / √18078 соответственно.
4. Найдем (AB + CD) * AD:
AB + CD = (1, 1, 2) + (4, -11, -1) = (5, -10, 1)
(AB + CD) * AD = (5, -10, 1) · (3, -2, -2) = 5*3 + (-10)*(-2) + 1*(-2) = 15 + 20 - 2 = 33
Ответ: (AB + CD) * AD равно 33.
5. Проверим, коллинеарны ли векторы AB и CD.
Векторы AB и CD коллинеарны, если их векторное произведение равно нулевому вектору:
AB × CD = (1, 1, 2) × (4, -11, -1)
= (1*(-1) - 1*(-11), 1*4 - 2*(-1), 1*(-11) - 2*4)
= (-1 + 11, 4 + 2, -11 - 8)
= (10, 6, -19)
Вектор AB × CD не равен нулевому вектору, поэтому векторы AB и CD не коллинеарны.
Ответ: векторы AB и CD не коллинеарны.
6. Проверим, ортогональны ли векторы AB и CD.
Векторы AB и CD ортогональны, если их скалярное произведение равно нулю:
AB · CD = (1, 1, 2) · (4, -11, -1)
= 1*4 + 1*(-11) + 2*(-1)
= 4 - 11 - 2
= -9
Скалярное произведение AB · CD не равно нулю, поэтому векторы AB и CD не ортогональны.
Ответ: векторы AB и CD не ортогональны.