Даны точки A(8;2) и B(10;14). Найди координаты точек C и D, если известно, что точка B — середина отрезка AC, а точка D — середина отрезка BC.

Чтобы доказать, что четырёхугольник АВСД является параллелограммом, нам нужно убедиться, что противоположные стороны параллельны.

Для начала, найдём уравнения прямых, проходящих через соответствующие точки.

Уравнение прямой, проходящей через точки А(1;4) и В(5;5), можно найти, используя формулу (y-y₁) = m(x-x₁), где m - наклон прямой и (x₁,y₁) - координаты одной из точек, через которую проходит прямая.

(x₁,y₁) = (1,4)
(x,y) = (5,5)
(y-4) = m(x-1)

Раскроем скобки:
y-4 = mx - m
y = mx + (4 - m)

Уравнение прямой, проходящей через точки С(6;2) и Д(2;1):
(x₁,y₁) = (6, 2)
(x,y) = (2, 1)
(y-2) = n(x-6)

Раскроем скобки:
y-2 = nx - 6n
y = nx + (2 - 6n)

Чтобы доказать, что прямые АВ и СД параллельны, нам нужно убедиться, что их наклоны равны.

В уравнении первой прямой (АВ) m = 1/4
В уравнении второй прямой (СД) n = 1/4

Таким образом, наклоны обеих прямых равны, что означает, что АВ и СД параллельны.

Теперь найдём длины векторов ДВ и АС.

Длина вектора можно найти с помощью формулы длины вектора:
|ДВ| = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²), где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) - координаты концов вектора.

Координаты точки Д - (2, 1)
Координаты точки В - (5, 5)

|ДВ| = √((5 - 2)² + (5 - 1)²)
|ДВ| = √(3² + 4²)
|ДВ| = √(9 + 16)
|ДВ| = √25
|ДВ| = 5

Следовательно, длина вектора ДВ равна 5.

Координаты точки А - (1, 4)
Координаты точки С - (6, 2)

|АС| = √((6 - 1)² + (2 - 4)²)
|АС| = √(5² + (-2)²)
|АС| = √(25 + 4)
|АС| = √29

Следовательно, длина вектора АС равна √29.

Итак, мы доказали, что четырёхугольник АВСД является параллелограммом, так как противоположные стороны АВ и СД параллельны. Длина вектора ДВ равна 5, а длина вектора АС равна √29.

Дано: a _|_c, b_|_ c.

Чтобы ответить на данный вопрос, мы должны понимать, что означают данные условия.

Причертим нашу ситуацию:

c
|
_____|_____
| | |
| a | b |
|_____|_____|

По условию задачи у нас есть две прямые a и c, которые перпендикулярны (т.е. образуют угол 90 градусов) и две прямые b и c, которые также перпендикулярны.

Теперь нужно рассмотреть возможные варианты ответа:

1. Если прямые a и b пересекаются (т.е. имеют общую точку), то они не перпендикулярны друг другу. Значит, ответ "прямые a и b являются перпендикулярными" является неправильным.

c
|
_____|_____
| | |
| a | b | X
|_____|_____|

2. Если прямые a и b параллельны, то они не пересекаются и не перпендикулярны друг другу. Значит, ответ "прямые a и b являются перпендикулярными" также неверен.

c
|
_____|_____
| | |
| a | |
|_____|_____|

________ b
|
|
_____|_____
| | |
| a | c |
|_____|_____|

3. Третий вариант заключается в том, что прямые a и b не пересекаются и не параллельны. В этом случае они перпендикулярны друг другу.

c
|
_____|_____
| | |
| a | |
|_____|_____|
\
\ b
\

Окончательный ответ: если даны условия a _|_c и b _|_c, то прямые a и b являются перпендикулярными друг другу.