б) Теперь рассмотрим выражение пр(νa + τb). Векторное произведение двух векторов равно произведению модулей векторов, умноженному на синус угла между ними.
Прежде всего, для вычисления синуса угла между векторами a и b, нам понадобится вычислить их скалярное произведение:
a*b = (αm + βn) * (γm + δn)
= αγ(m*m) + αδ(m*n) + βγ(n*m) + βδ(n*n)
Теперь заменим значения коэффициентов α, β, γ, δ, k, l и φ:
α = 5, β = 2, γ = 1, δ = -4, k = 3, l = 2, φ = π
= 5*1(k*k) + 5*(-4)(k*l) + 2*1(l*k) + 2*(-4)(l*l)
= 5(k² - 4kl) + 2(lk - 4l²)
= 5k² - 20kl + 2lk - 8l²
= 5k² - 18kl - 8l²
Теперь мы можем найти синус угла между векторами a и b:
sin(a, b) = |a*b| / (|a| * |b|)
= |5k² - 18kl - 8l²| / (|a| * |b|)
= |5k² - 18kl - 8l²| / (|m| * |n|)
= |5*3² - 18*3*2 - 8*2²| / (|k| * |l|)
= |-3| / (3 * 2)
= 3/6
= 1/2
Теперь мы можем выразить векторное произведение пр(νa + τb):
пр(νa + τb) = |νa + τb| * sin(a, b) * n
Заменим значения коэффициентов α, β, γ, δ, k, l, φ, λ, μ, ν и τ:
Теперь мы можем найти косинус угла между векторами a и τb:
cos(a, τb) = (a * τb) / (|a| * |τb|)
= (-20k² + 72kl + 32l²) / (|a| * |τb|)
= (-20k² + 72kl + 32l²) / (|m| * |n|)
= (-20k² + 72kl + 32l²) / (k * l)
= (-20(3)² + 72(3)(2) + 32(2)²) / (3 * 2)
= (-180 + 432 + 128) / 6
= 380 / 6
= 190 / 3
Ответ: cos(a, τb) = 190 / 3
Надеюсь, что эти подробные шаги помогли вам понять решение вопроса. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.
а) Для начала, давайте раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в выражении (λa + μb)(νa + τb):
(λa + μb)(νa + τb) = λνa² + λτab + μνba + μτb²
Теперь заменим значения коэффициентов α, β, γ, δ, k, l, φ, λ, μ, ν и τ:
α = 5, β = 2, γ = 1, δ = -4, k = 3, l = 2, φ = π, λ = 1, μ = -2, ν = 3, τ = -4
Таким образом, получим:
(1 * 3 * (5m + 2n)² + 1 * (-4) * (5m + 2n)(1m + (-4)n) + (-2) * 3 * (1m + (-4)n)(5m + 2n) + (-2) * (-4) * (1m + (-4)n)²
= 9(5m + 2n)² - 4(5m + 2n)(1m - 4n) - 6(1m - 4n)(5m + 2n) + 8(1m - 4n)²
= 9(25m² + 20mn + 4n²) - 4(5m + 2n)(m - 4n) - 6(m - 4n)(5m + 2n) + 8(m - 4n)²
= 225m² + 180mn + 36n² - 20m² + 80mn - 40n² - 30m² + 120mn - 48n² + 8m² - 32mn + 64n²
= 183m² + 268mn - 20n²
Ответ: (λa + μb)(νa + τb) = 183m² + 268mn - 20n²
б) Теперь рассмотрим выражение пр(νa + τb). Векторное произведение двух векторов равно произведению модулей векторов, умноженному на синус угла между ними.
Прежде всего, для вычисления синуса угла между векторами a и b, нам понадобится вычислить их скалярное произведение:
a*b = (αm + βn) * (γm + δn)
= αγ(m*m) + αδ(m*n) + βγ(n*m) + βδ(n*n)
Теперь заменим значения коэффициентов α, β, γ, δ, k, l и φ:
α = 5, β = 2, γ = 1, δ = -4, k = 3, l = 2, φ = π
= 5*1(k*k) + 5*(-4)(k*l) + 2*1(l*k) + 2*(-4)(l*l)
= 5(k² - 4kl) + 2(lk - 4l²)
= 5k² - 20kl + 2lk - 8l²
= 5k² - 18kl - 8l²
Теперь мы можем найти синус угла между векторами a и b:
sin(a, b) = |a*b| / (|a| * |b|)
= |5k² - 18kl - 8l²| / (|a| * |b|)
= |5k² - 18kl - 8l²| / (|m| * |n|)
= |5*3² - 18*3*2 - 8*2²| / (|k| * |l|)
= |-3| / (3 * 2)
= 3/6
= 1/2
Теперь мы можем выразить векторное произведение пр(νa + τb):
пр(νa + τb) = |νa + τb| * sin(a, b) * n
Заменим значения коэффициентов α, β, γ, δ, k, l, φ, λ, μ, ν и τ:
α = 5, β = 2, γ = 1, δ = -4, k = 3, l = 2, φ = π, λ = 1, μ = -2, ν = 3, τ = -4
Таким образом, получим:
|3(5m + 2n) + (-4)(1m + (-4)n)| * (1/2) * n
= |15m + 6n - 4m + 16n| * (1/2) * n
= |11m + 22n| * (1/2) * n
Ответ: пр(νa + τb) = |11m + 22n| * (1/2) * n
в) Наконец, рассмотрим cos(a, τb). Для нахождения косинуса угла между векторами a и τb, нам понадобится найти скалярное произведение этих векторов:
a * τb = (αm + βn) * τ(γm + δn)
= τ(αγ(m*m) + αδ(m*n) + βγ(n*m) + βδ(n*n))
Теперь заменим значения коэффициентов α, β, γ, δ, k, l и φ:
α = 5, β = 2, γ = 1, δ = -4, k = 3, l = 2, φ = π, λ = 1, μ = -2, ν = 3, τ = -4
= (-4)(5*1(k*k) + 5*(-4)(k*l) + 2*1(l*k) + 2*(-4)(l*l))
= (-4)(5k² - 18kl - 8l²)
= -20k² + 72kl + 32l²
Теперь мы можем найти косинус угла между векторами a и τb:
cos(a, τb) = (a * τb) / (|a| * |τb|)
= (-20k² + 72kl + 32l²) / (|a| * |τb|)
= (-20k² + 72kl + 32l²) / (|m| * |n|)
= (-20k² + 72kl + 32l²) / (k * l)
= (-20(3)² + 72(3)(2) + 32(2)²) / (3 * 2)
= (-180 + 432 + 128) / 6
= 380 / 6
= 190 / 3
Ответ: cos(a, τb) = 190 / 3
Надеюсь, что эти подробные шаги помогли вам понять решение вопроса. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.