Даны вершины а(х1; у1), в(х2; у2 ), с(х3, у3) треугольника. сделать чертеж и найти: • длину стороны ав; • внутренний угол а в радианах с точностью до 0,01; • уравнение высоты, проведенной через вершину с; • уравнение медианы, проведенной через вершин очку пересечения медианы ве и высоты сd; • длину высоты, проведенной через вершину с. а (7; 3) в (–1; 9) с (0; 4)
1. Длина стороны ав:
Для нахождения длины стороны ав нужно использовать формулу расстояния между двумя точками. Формула выглядит следующим образом:
Длина стороны = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
Для нашего треугольника вершины а(х1; у1) и в(х2; у2):
a(7; 3)
v(-1; 9)
Подставляя значения в формулу, получаем:
Длина стороны av = √((-1 - 7)^2 + (9 - 3)^2)
= √((-8)^2 + (6)^2)
= √(64 + 36)
= √(100)
= 10
Длина стороны av равна 10.
2. Внутренний угол а в радианах с точностью до 0,01:
Для нахождения внутреннего угла а мы можем использовать теорему косинусов. Формула выглядит следующим образом:
cos(α) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)
Где α - угол при вершине, b и c - длины сторон, а - длина противолежащей стороны.
Для нашего треугольника имеем:
a(7; 3)
v(-1; 9)
c(0; 4)
Вычислим длины сторон:
Длина стороны av = 10 (как мы уже посчитали)
Длина стороны vc = √((0 - (-1))^2 + (4 - 9)^2)
= √((1)^2 + (5)^2)
= √(1 + 25)
= √(26)
Применяя формулу косинусов, получаем:
cos(a) = (10^2 + (√(26))^2 - 10) / (2 * 10 * √(26))
= (100 + 26 - 100) / (20 * √(26))
= 26 / (20 * √(26))
≈ 0.245
Теперь найдем угол α, применяя обратную функцию косинуса (арккосинус) к полученному значению:
α = arccos(0.245)
≈ 1.3181 радиан
Внутренний угол а приближенно равняется 1.3181 радиан с точностью до 0,01.
3. Уравнение высоты, проведенной через вершину с:
Чтобы найти уравнение высоты, проведенной через вершину с, нам необходимо найти уравнение прямой, проходящей через точку с и перпендикулярной стороне av.
Найдем угол наклона стороны av:
Угол наклона = (y2 - y1) / (x2 - x1)
av: a(7; 3), v(-1; 9)
Угол наклона av = (9 - 3) / (-1 - 7)
= 6 / (-8)
= -0.75
Угол наклона прямой, проведенной через вершину с, будет обратным к этому углу и равняться 1.33. Теперь мы знаем угол наклона (который называется также угловым коэффициентом) и одну точку прямой (с), поэтому можем записать уравнение прямой в общем виде:
y - ус = k(x - хс)
где k - угловой коэффициент, хc и уc - координаты точки с.
Подставляя значения, получаем:
у - 4 = 1.33(х - 0)
Уравнение высоты, проведенной через вершину с, будет у = 1.33х - 4.
4. Уравнение медианы, проведенной через вершину е и пересекающейся с высотой сd:
Чтобы найти уравнение медианы, проведенной через вершину е и пересекающейся с высотой сd, нам нужно найти точку пересечения медианы и высоты. Затем мы можем использовать две эти точки, чтобы найти уравнение прямой, проходящей через них.
Найдем координаты точки пересечения медианы и высоты. Поскольку медиана делит сторону av идиректно от вершины е, то ее координаты будут равны среднему арифметическому координат вершины а и вершины v:
xe = (xa + xv) / 2
ye = (ya + yv) / 2
a(7; 3)
v(-1; 9)
xe = (7 + (-1)) / 2
= 6 / 2
= 3
ye = (3 + 9) / 2
= 12 / 2
= 6
Таким образом, точка пересечения медианы и высоты имеет координаты е(3; 6).
Теперь мы знаем координаты двух точек (вершины с и вершины е), через которые проходит медиана. Мы можем записать уравнение прямой, проходящей через эти точки, в общем виде:
y - уs = k(x - хs)
где k - угловой коэффициент, хs и уs - координаты точки s.
Подставляя значения, получаем:
у - 6 = (3 - 4)(х - 0)
Уравнение медианы, проведенной через вершины s и e, будет у = -х + 6.
5. Длина высоты, проведенной через вершину с:
Для нахождения длины высоты, проведенной через вершину с, мы можем использовать формулу площади треугольника. Формула выглядит следующим образом:
Площадь треугольника = 0.5 * основание * высота
где основание - это сторона av, а высота - высота, проведенная через вершину с.
Площадь треугольника можем найти используя формулу Герона:
Площадь треугольника = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))
где p - полупериметр треугольника, a, b и c - стороны треугольника.
Вычислим длины сторон:
a(7; 3)
v(-1; 9)
c(0; 4)
Длина стороны av = 10 (как мы уже рассчитали ранее)
Длина стороны vc = √((0 - (-1))^2 + (4 - 9)^2)
= √((1)^2 + (5)^2)
= √(1 + 25)
= √(26)
Полупериметр треугольника p = (10 + √(26) + √(26)) / 2
= (10 + 2√(26)) / 2
= 5 + √(26)
Теперь, подставив значения в формулу Герона:
Площадь треугольника = √((5 + √(26)) * (5 + √(26) - 10) * (5 + √(26) - √(26)) * (5 + √(26) - √(26)))
= √((5 + √(26)) * (-5 - √(26)) * (5 + √(26)) * (5 + √(26) - √(26)))
= √((5 + √(26)) * (-5 - √(26)) * (5 + √(26)) * (5))
= √((5 + √(26))^2 * 5)
= (5 + √(26)) * √(5)
≈ (5√(5) + √(26)√(5))
≈ (5√(5) + √(130))
Площадь треугольника ≈ (5√(5) + √(130))
Теперь мы можем найти высоту, проведенную к стороне av, используя формулу площади треугольника:
Площадь треугольника = 0.5 * сторона av * высота
(5√(5) + √(130)) = 0.5 * 10 * высота
высота = (5√(5) + √(130)) / 5
высота = √(5) + (1/5)√(26)
Таким образом, длина высоты, проведенной через вершину с, равна √(5) + (1/5)√(26).