)даны вершины пирамиды abcд. найдите: 1) угол между ребрами ab и ac; 2) площадь грани abc; 3) проекцию ab на cд; 4) объем пирамиды abcд; 5) ур-е стороны ab; 6) ур-е высоты до пирамиды abcд; 7) длину высоты до пирамиды abcд; 8) координаты т. о- пересечения высоты дo и осн. пирамиды abc. а ( 1; 1; 7 ) b ( -3; -2; -6 ) c ( 3; -4; -2 ) д ( 0; -1; 2 )
1) Находим длины рёбер пирамиды.
|AB|=√(xB−xA)²+(yB−yA)²+(zB−zA)²) = √((−3−1)²+(−2−1)²+(−6−7)²) = √((−4)²+(−3)²+(−13)²) = √(16+9+169) = √194 ≈ 13,928.
|AC| = √((xC−xA)²+(yC−yA)²+(zC−zA)²) = √((3−1)²+(−4−1)²+(−2−7)²) = √(2²+(−5)²+(−9)²) = √(4+25+81) = √110 ≈ 10,488.
|BC| = √((xC−xB)²+(yC−yB)²+(zC−zB)²) = √((3−(−3))²+(−4−(−2))²+(−2−(−6))²) = √(6²+(−2)²+4²) = √(36+4+16) = √56 =2√14 ≈ 7,483.
Угол между ребрами AB и AC находим по по теореме косинусов:
∠(AB,AC) = arccos((|AB|²+|AC|²−|BC|²)/(2|AB|⋅|AC|)) = =arccos((194+110−56)/(2⋅√194*√110)) = arccos(248/2 13,928388*10,488088) = arccos0,8488373 = 0,557014 радиан = 31,914563 градусов.
Решение этой же задачи векторным
Составим направляющие векторы рёбер:
AB = {xab;yab;zab}={xB−xA;yB−yA;zB−zA}={−3−1;−2−1;−6−7}={−4;−3;−13},
AC = {xac;yac;zac}={xC−xA;yC−yA;zC−zA}={3−1;−4−1;−2−7}={2;−5;−9}.
Модули определены выше: |AB| = √194 |AC| = √110.
Скалярное произведение равно:
АВ х АС = (-4)*2 + (-3)*(-5) + (-13)*(-9) = -8 + 15 + 117 = 124.
cos(АВ х АС) = 124/(√194*√110) = 0,8488373.
Угол равен 31,914563 градусов.
2) Площадь грани ABC определяем как половину модуля векторного произведения АВ х АС.
Произведение векторов
a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}.
Подставив данные, получаем АВ х АС = x y z
-38 -62 26 .
Модуль равен √((-38)² + (-62)² + 26²) = √(1444 + 3844 + 676 ) = √5964 .
Площадь грани АВС равна (1/2)√5964 ≈ 38,613469 кв.ед.
3) Проекция AB на CД. Вектор АВ равен {−4;−3;−13} (определён ранее).
Вектор СД равен {xD-xC, yD-yC, zD-zC} = (-3; 3; 4).
Модуль СД равен √34 ≈ 5,8309519.
Решение: Пр ba = a · b /|b| .
Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = ax · bx + ay · by + az · bz = (-4) · (-3) + (-3) · 3 + (-13) · 4 = 12 - 9 - 52 = -49 .
Найдем модуль вектора:
|b| = √bx2 + by2 + bz2 = √(-3)2 + 32 + 42 = √9 + 9 + 16 = √34
Пр ba = -49√34 ≈ -8,4034307.
4) Объем V пирамиды ABCД равен (1/6) смешанного произведения векторов (АВ х АС) х АД.
Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA} = (-1; -2; -5).
Модуль равен √30 ≈ 5,477225.
x y z
AB*AC -38 -62 26
AD -1 -2 -5
Произведение 38 + 124 - 130 = 32.
V = (1/6) * 32 = 5,3333 куб.ед.
6) Уравнение высоты ДО пирамиды ABCД.
Эта высота - нормальный вектор плоскости АВС через точку Д.
Он будет являться направляющим вектором искомой прямой. Тогда её уравнение в каноническом виде запишется так.
(x-Дx)/A=(y-Дy)/B=(z-Дz)/C.
АВ х АС = (-38; -62; 26) . Д ( 0; -1; 2 )
Получаем уравнение ДО: x/(-38) = (y + 2)/(-62) = (z - 2)/26.