Даны вершины треугольника aвс а(-2; 2), в(10; -7), с(8; 7) найти: 1) длину стороны ав; 2) уравнения сторон ав и ас и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол а в радианах с точностью до 0,01; 4) уравнение высоты сd и ее длину; 5) уравнение окружности, для которой высота сd есть диаметр.
АВ=√(2-(-7))²+(10-(-2))² = √(81+144)=√225= 15 -ОТВЕТ
2. Уравнения прямых АВ и АС.
Уравнение прямой Y=kX+b.
Уравнение прямой АВ
k =dY/dX = - 9/12 = -3/4
b = Ay - k*Ax = 2 -(-3/4)*(-2) = 0.5
Окончательно уравнение прямой Y(AB) = -3/4*X + 0.5 - ОТВЕТ
Уравнение прямой АС
k = (7-2)/(8- (-2) = 1/2
b = Cy- k*cx = 7 -1/2*8= 3
окончательно - уравнение прямой Y(АC) = X/2 +3 - ОТВЕТ
3. Угол А - вычисляется через углы наклона прямых по формуле.
Зная тангенс угла находим его величину (по таблицам)
Если tg α = 2, то сам угол α = arctg 2 = 1.1071 ~ 1.11 рад ~ 63.4° - ОТВЕТ
4. Уравнение высоты CD и её длину.
Высота CD - перпендикуляр к прямой АВ и наклон по формуле
k = - 1/k(AB) = - 1 /(-3/4) = 4/3.
Сдвиг В по точке С(8;7).
b = Cy - k*Cx = 7 - 4/3*8 = - 3 2/3
Окончательно уравнение высоты CD - Y(CD) = 4/3*X - 3 2/3 - ОТВЕТ
Дополнительно находим точку пересечения D решая систему уравнений из параметрических уравнений прямых AB и CD.
4*Y+3*X = 2 - уравнение AB
3*Y - 4*X = -11 - уравнение СD.
Решаем быстро методом Крамера - det D = -25, detY= 25, detX= 50.
Dx = 2 Dy= - 1.
Длина высоты CD - по теореме Пифагора.
CD = √(8² + 6²)= √100 = 10 - длина высоты - диаметр окружности - ОТВЕТ
5. Уравнение окружности с центром O на высоте CD.
Центр окружности - середина отрезка AD -
Ox = (Cx+Dx)/2 = (8+2)/2 = 5
Oy = *Cy+Dy)/2) = (7+(-1))/2 = 3.
Уравнение окружности со смещенным центром в т. О(5;3) и радиусом R=5.
(x-5)² + (y-3)² = 25 - ОТВЕТ