Даны вершины треугольника АВС. Найти: 1)уравнение стороны ВС и ее длину;
2)уравнение медианы BD и ее длину;
3)уравнение высоты AK ;
4) точку пересечения медианы BD и высоты AK;
5)угол А в треугольнике АВС.

A(-1;5); B(-3;-2); C(2;2).

Даны вершины треугольника АВС: A(-1;5); B(-3;-2); C(2;2).

Найти:

1)уравнение стороны ВС и ее длину.

Вектор ВС = (2-(-3); 2-(-2)) = (5; 4).

Уравнение ВС: (х + 3)/5 = (у + 2)/4  каноническое или

                         4х – 5у + 2 = 0  в общем виде.

2)уравнение медианы BD и ее длину.

Находим координаты точки D как середины стороны АС.

D = (A(-1;5) + C(2;2)) / 2 = (0,5; 3,5).

Вектор ВD = (0,5-(-3); 3,5-(-2)) = (3,5; 5,5).

Уравнение ВD: (х + 3)/3,5 = (у + 2)/5,5 или в целых числах

                        (х + 3)/7 = (у + 2)/11,

                       11x -7y + 19 = 0  в общем виде.

3)уравнение высоты AK.

Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

(x – xo)/A = (y – yo)/B

Найдем уравнение высоты через вершину A к стороне ВС.

(x – (-1))/4 = (y – 5)/(-5),

y = (-5/4)x + (15/4) или 5x + 4y - 15 = 0.

4) точку пересечения медианы BD и высоты AK.

Решаем систему.

{11x -7y + 19 = 0   (x4) = 44x -28y + 76 = 0

{5x + 4y - 15 = 0  (x7) = 35x + 28y – 105 = 0  

                                      79x           - 29  = 0,

x = 29/79 ≈ 0,36709,

y =  (-5/4)*(29/79) + (15/4) =  1040/316 = 260/79 ≈ 3,2911.

Найдена точка F((29/79; (260/79)).

5) угол А в треугольнике АВС с вершинами A(-1;5); B(-3;-2); C(2;2).

Находим векторы АВ и АС.

Вектор АВ = (-3-(-1); -2-5) = (-2; -7), модуль равен √(4+49) = √53.

Вектор АС = (2-(-1); 2-5) = (3; -3), модуль равен √(9+9) = 3√2.

Находим косинус угла A = (АВ_АС):

cos A = (-2*3 + (-7)*(-3)/( √53*3√2) = 15/(3√106) = 5√106/106 ≈ 0,48564,

угол А = arccos(5√106/106) = 1,0637 радиан или 60,9454 градуса.