Денис и Коля получили одинаковый комплект задач на кружке. Известно, что оба мальчика каждую задачу приходили сдавать 2, 3 или 5 раз. У преподавателя отмечено, что Денис приходил сдавать задачи 97 раз(-а), а Коля — 43 раз(-а). Могло ли такое быть? Если да, сколько задач было на кружке?​

ответ:      1)  φ = 45° ;   2)    | a + 2b | = 2√10 .

Пошаговое объяснение:

1 )  Сума векторів  а + с = ( 2 + 4 ; 3 - 3 ) = ( 6 ; 0 ) ; | a + c | = √( 6² + 0²) = 6 ;

| b | = √( 7² + ( - 7)²) = √ 2* 49 = 7√2 ;

Скалярний добуток векторів  ( а + с ) * b = 6*7 + 0*( - 7) = 42 .

cosφ = [ ( а + с ) * b ]/[ | a + c | * | b | = 42/( 6 * 7√2) = 1/√2 = √2/2 ;

cosφ = √2/2 ;     φ = 45° .

2) Модуль  суми    | a + 2b | = √ ( a + 2b )² = √ ( a² + 4 a*b + 4b² ) =                                           =  √( |a|² +4|a|*|b |cos135°+4|b|² ) = √ [ (2√2)² - 4*2√2*4*cos45° +4 * 4²] =

= √ ( 8 - 32 + 64 ) = √40 = 2√10 ;  модуль суми  | a + 2b | = 2√10 .

36 книг всего на трёх полках

Пошаговое объяснение:

Пусть х книг на нижней полке. Тогда:

2х на средней и верхней полке вместе,

15 книг на верхней полке,

2х-15 книг на средней полке

По условию, на средней – в 3 раза меньше, чем на остальных двух.

Составим уравнение:

3(2х-15) = х+15

6х - 45 = х + 15

6х - х = 15 + 45

5х = 60

х = 60/5

х = 12 книг на нижней полке

2*12 - 15 = 24 - 15 = 9 книг на средней полке

15 книг на верхней полке

15 + 9 + 12 = 36 книг всего на трёх полках

Проверим:

(15+9) : 12 = 24 : 12 = 2 - на нижней полке книг в 2 раза меньше, чем на остальных двух,

(12+15) : 9 = 27 : 9 = 3 - на средней полке в 3 раза меньше, чем на остальных двух