Дифференциальное уравнение Дифференциальное уравнение

Показать ответ

Ответ:

ruevtop

15.10.2020 12:43

(3x - 4y)y' = 4x + 3y

$y' = \dfrac{4x + 3y}{3x - 4y}$

Пусть $f(x,y) = \dfrac{4x + 3y}{3x - 4y}$

Тогда $f(\lambda x,\lambda y) = \dfrac{4\lambda x + 3\lambda y}{3\lambda x - 4\lambda y} = \dfrac{4x + 3y}{3x - 4y} = f(x,y)$

Имеем дифференциальное уравнение, однородное относительно переменных.

Подстановка: $y = ux, \ y' = u'x + u,$ где u = u(x)

Тогда исходное уравнение примет вид:

$u'x + u = \dfrac{4x + 3ux}{3x - 4ux}$

$x \cdot \dfrac{du}{dx} = \dfrac{4 + 3u}{3 - 4u} - u$

$x \cdot \dfrac{du}{dx} = \dfrac{4 + 4u^{2}}{3 - 4u}$

$\dfrac{3 - 4u}{4 + 4u^{2}}du = \dfrac{dx}{x}$

$\displaystyle \int \dfrac{3 - 4u}{4 + 4u^{2}}du = \int \dfrac{dx}{x}$

$1) \ \displaystyle \int \dfrac{3 - 4u}{4 + 4u^{2}}du = \dfrac{3}{4} \int \dfrac{du}{1 + u^{2}} - \dfrac{1}{2} \int \dfrac{2u}{1 + u^{2}}d(1 +u^2) = \\= \dfrac{3}{4}\, \text{arctg}\, u - \dfrac{1}{2} \ln |1 + u^{2}| + C$

$2) \displaystyle \int \dfrac{dx}{x} = \ln |x| + C$

$\dfrac{3}{4}\, \text{arctg}\, u - \dfrac{1}{2} \ln |1 + u^{2}| + C_{1} = \ln |x| + C_{2}$

$\dfrac{3}{4}\, \text{arctg}\, u - \dfrac{1}{2} \ln |1 + u^{2}| - \ln |x| = C$

Обратная подстановка:

$\dfrac{3}{4}\, \text{arctg}\, \dfrac{y}{x} - \dfrac{1}{2} \ln \left|1 + \dfrac{y^{2}}{x^{2}} \right| - \ln |x| = C$ — общий интеграл

ответ: $\dfrac{3}{4}\, \text{arctg}\, \dfrac{y}{x} - \dfrac{1}{2} \ln \left|1 + \dfrac{y^{2}}{x^{2}} \right| - \ln |x| = C$

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

thebesteconomist

10.12.2022 01:35

Площадь прямоугольника равна 72 см2. Какой станет его площадь, если ширина останется без изменений, а длину: 1) увеличить в 4 раза 2) уменьшить в 12 раз...

Alymov671

27.01.2020 19:33

Дай общее название множеству. На какие два множества его можно разделить? Выполни задание с карточек...

Диманник2006

08.11.2021 09:38

1. (2,5-2 1/4)∙(-6 1/3)+4/5 ∶(-3,2 ) 2. 16,83∙(-1,12)+(-6,83)∙(-1,12) 3. Запишите периодическую десятичную дробь в виде обыкновенной: А. 0,(3); В. 3,4(2); 4. Из одного...

444m

15.06.2022 04:16

По данному полигону абсолютных частот определи значения таблицы абсолютных частот и заполни пропуски....

Пан2007

15.08.2020 17:10

если одно число в 10 раз меньше другого, а разность этих двух чисел равна 45, то верна запись...

pasha276

17.07.2022 01:13

Корень(4 корень 2-7)^2+4к корень 2...

Папкинапапка222

09.12.2022 00:55

Запиши число, содержащее: 639 единиц 2 класса и 20 единиц 1 класса...

zzz26101973

04.06.2020 14:45

На листе бумаги сначала нарисовали 2 пересекающиеся прямые , а затем 2 параллельные прямые.Как могут быть расположены эти прямые, и сколько всего точек пересечения на...

maestro27568

04.05.2023 23:36

А!-Луч ML является биссектрисой угла & KMN, луч MT — биссектрисой угла 4KML, луч MV —биссектрисой угла 4 NML.1. Известно, что KVMN — 9°.Определи угол 4 VMK =1.2....

snoopelol5

19.09.2022 07:30

Одно число больше другого в 11,5 раз(-а), среднее арифметическое этих двух чисел равно 49. Найди эти числа....

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку