Вершини піраміди знаходяться у точках:
A(7; 5; 8) B(-4; -5; 3) C(2; -3; 5) D(5; 1; -4).
Обчислити: а) Довжину ребра АВ;
Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} = (-4-7; -5-5; 3-8) = (-11; -10; -5).
Длина ребра АВ = √((-11)² + (-10)² + (-5)²) = √(121+100+25) =√246.
б) Кут між ребрами АВ і АС;
Вектор АВ = (-11; -10; -5), его модуль равен √246.
Вектор АС={xС-xA, yС-yA, zС-zA} = (2-7; -3-5; 5-8) = (-5; -8; -3).
Длина ребра АC = √((-5)² + (-8)² + (-3)²) = √(25+64+9) =√98.
cos(AB_AC) = (-11*-5+-10*-8+-5*-3)/(√246*√98) = 150/155,2675111= =0,966074609
Угол равен 0,261224 радиан или 14,96703 градуса.
в) площу грані АВС;
Площадь грани ABC равна половине модуля векторного произведения: S = (1/2)|AB*AC|.
АВ =(-11; -10; -5), АС = (-5; -8; -3). АВхАС =
= i j k| i j
-11 -10 -5| -11 -10
-5 -8 -3| -5 -8 = 30i + 25j + 88k - 33j - 40i - 50k =
= -10i - 8j + 38k.
Модуль равен √((-10)² + (-8)² +38²) = √1608 ≈ 40,0999.
Площадь S = (1/2)*√1608 ≈ 20,0499.
d) об'єм піраміди АБСД.
Объём пирамиды V = (1/6)*|(ABxAC)*AD|.
АВ хАС = (-10; - 8; 38),
Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA} = (-2; -4; -12),
|AD) = √164 ≈ 12,80625.
ABxAC = -10 -8 38
АD = -2 -4 -12
(1/6)*|(ABxAC)*AD| = (1/6)*|(20 + 32 - 456)| = 404/6 ≈ 67,3333.
8 | 2 16 | 2 28 | 2
4 | 2 8 | 2 14 | 2
2 | 2 4 | 2 7 | 7
1 2 | 2 1
8 = 2³ 1 28 = 2² · 7
16 = 2⁴
НОД (8; 16 и 28) = 2² = 4 - наибольший общий делитель
8 : 4 = 2 16 : 4 = 4 28 : 4 = 7
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
12 | 2 18 | 2 24 | 2
6 | 2 9 | 3 12 | 2
3 | 3 3 | 3 6 | 2
1 1 3 | 3
12 = 2² · 3 18 = 2 · 3² 1
24 = 2³ · 3
НОК (12; 18 и 24) = 2³ · 3² = 72 - наименьшее общее кратное
72 : 12 = 6 72 : 18 = 4 72 : 24 = 3
ответ: НОД (8; 16 и 28) = 4; НОК (12; 18 и 24) = 72.
Вершини піраміди знаходяться у точках:
A(7; 5; 8) B(-4; -5; 3) C(2; -3; 5) D(5; 1; -4).
Обчислити: а) Довжину ребра АВ;
Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} = (-4-7; -5-5; 3-8) = (-11; -10; -5).
Длина ребра АВ = √((-11)² + (-10)² + (-5)²) = √(121+100+25) =√246.
б) Кут між ребрами АВ і АС;
Вектор АВ = (-11; -10; -5), его модуль равен √246.
Вектор АС={xС-xA, yС-yA, zС-zA} = (2-7; -3-5; 5-8) = (-5; -8; -3).
Длина ребра АC = √((-5)² + (-8)² + (-3)²) = √(25+64+9) =√98.
cos(AB_AC) = (-11*-5+-10*-8+-5*-3)/(√246*√98) = 150/155,2675111= =0,966074609
Угол равен 0,261224 радиан или 14,96703 градуса.
в) площу грані АВС;
Площадь грани ABC равна половине модуля векторного произведения: S = (1/2)|AB*AC|.
АВ =(-11; -10; -5), АС = (-5; -8; -3). АВхАС =
= i j k| i j
-11 -10 -5| -11 -10
-5 -8 -3| -5 -8 = 30i + 25j + 88k - 33j - 40i - 50k =
= -10i - 8j + 38k.
Модуль равен √((-10)² + (-8)² +38²) = √1608 ≈ 40,0999.
Площадь S = (1/2)*√1608 ≈ 20,0499.
d) об'єм піраміди АБСД.
Объём пирамиды V = (1/6)*|(ABxAC)*AD|.
АВ хАС = (-10; - 8; 38),
Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA} = (-2; -4; -12),
|AD) = √164 ≈ 12,80625.
ABxAC = -10 -8 38
АD = -2 -4 -12
(1/6)*|(ABxAC)*AD| = (1/6)*|(20 + 32 - 456)| = 404/6 ≈ 67,3333.
8 | 2 16 | 2 28 | 2
4 | 2 8 | 2 14 | 2
2 | 2 4 | 2 7 | 7
1 2 | 2 1
8 = 2³ 1 28 = 2² · 7
16 = 2⁴
НОД (8; 16 и 28) = 2² = 4 - наибольший общий делитель
8 : 4 = 2 16 : 4 = 4 28 : 4 = 7
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
12 | 2 18 | 2 24 | 2
6 | 2 9 | 3 12 | 2
3 | 3 3 | 3 6 | 2
1 1 3 | 3
12 = 2² · 3 18 = 2 · 3² 1
24 = 2³ · 3
НОК (12; 18 и 24) = 2³ · 3² = 72 - наименьшее общее кратное
72 : 12 = 6 72 : 18 = 4 72 : 24 = 3
ответ: НОД (8; 16 и 28) = 4; НОК (12; 18 и 24) = 72.