Длина прямоугольника = 3,5 см. Надо найти длину стадиона, не площадь.

Показать ответ

Ответ:

katyakot2299

09.07.2021 22:37

$\sum\limits^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^n\cdot 2n}{n^2+1}$

Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется

$1\frac{4}{5}\frac{3}{5}...$

По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.

$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{2n}{n^2+1}=0$

Таким образом, рассматриваемый ряд сходится. Теперь нужно исследовать на абсолютной и условной сходимости ряда. Возьмём данный ряд по модулю

$\Big|\sum\limits^\infty_{n=1}\frac{(-1)^n\cdot 2n}{n^2+1}\Big|=\sum\limits^\infty_{n=1}\frac{2n}{n^2+1}$ - расходящийся ряд, поскольку $\sum\limits^\infty_{n=1}\frac{2n}{n^2+1}\sim\sum\limits^\infty_{n=1}\frac{2n}{n^2}=\sum\limits^\infty_{n=1}\frac{2}{n}$ - гармонический ряд расходится. Следовательно, данный ряд сходится условно.

$\sum\limits^\infty_{n=2}\frac{1}{n\ln^4n}$

По интегральному признаку:

$\int \limits^\infty_2\frac{1}{n\ln^4n}dn=\int \limits^\infty_2\frac{d\ln n}{\ln^4n}=-\frac{1}{3\ln^3n}\Big|^\infty_2=\frac{1}{3\ln^32}$

Несобственный интеграл сходится, а значит сходится и рассматриваемый ряд

0,0(0 оценок)

Ответ:

Dag18y5557hvvhi

22.06.2022 01:33

$y'' + 8y' + 25y = 2\sin 3x$

Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) с постоянными коэффициентами.

Общее решение этого уравнения: $y = y^{*} + \widetilde{y}$

$1) \ y^{*}$ — общее решение соответствующего однородного уравнения:

y'' + 8y' + 25y = 0

Воспользуемся методом Эйлера. Подстановка: $y = e^{kx}$ .

Тогда получим характеристическое уравнение:

$(e^{kx})'' + 8(e^{kx})' + 25e^{kx} = 0$

$k^{2}e^{kx} + 8ke^{kx} + 25e^{kx} = 0 \ \ \ |:e^{kx}$

$k^{2} + 8k + 25 = 0$

$D = 8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 64 - 100 = -36$

$k_{1,2} = \dfrac{-8 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \dfrac{-8 \pm \sqrt{36} \cdot \sqrt{-1}}{2} = \dfrac{-8\pm 6i}{2} = -4 \pm 3i$

Имеем комплексно-сопряженные корни вида $\alpha \pm \beta i$

Здесь $\alpha =-4$ и $\beta =3$

Тогда $\overline{y}_{1} = e^{(-4 + 3i)x}$ и $\overline{y}_{2} = e^{(-4 - 3i)x}$

Используем формулу Эйлера: $e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi$

Значит, $\overline{y}_{1} = e^{(-4 + 3i)x} = e^{-4x} \cdot e^{3ix} = e^{-4x}(\cos 3x + i\sin 3x) = e^{-4x} \cos 3x + ie^{-4x}\sin 3x$

Таким образом, фундаментальная система решений: $y_{1} = e^{-4x}\cos 3x, \ y_{2} = e^{-4x}\sin 3x$ — линейно независимые функции.

Общее решение: $y^{*} = C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2} = C_{1} e^{-4x}\cos 3x + C_{2}e^{-4x}\sin 3x$

$2) \ \widetilde{y}$ — частное решение ЛНДУ с постоянными коэффициентами. Для его нахождения используется метод подбора вида частного решения по виду правой части уравнения.

Правая часть второго типа: $f(x) = e^{\alpha x}\left(P_{s}(x)\cos \beta x + Q_{m}(x)\sin \beta x \right)$

В нашем уравнении $\alpha = 0, \ \beta = 3$ и не совпадает корнем однородного ЛДУ, а именно: $\alpha =-4$ и $\beta =3$ , поэтому $\widetilde{y} = A\cos 3x + B\sin 3x$ , где — неизвестный коэффициент, который нужно найти.