Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется
По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.
Таким образом, рассматриваемый ряд сходится. Теперь нужно исследовать на абсолютной и условной сходимости ряда. Возьмём данный ряд по модулю
- расходящийся ряд, поскольку - гармонический ряд расходится. Следовательно, данный ряд сходится условно.
По интегральному признаку:
Несобственный интеграл сходится, а значит сходится и рассматриваемый ряд
Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) с постоянными коэффициентами.
Общее решение этого уравнения:
— общее решение соответствующего однородного уравнения:
Воспользуемся методом Эйлера. Подстановка: .
Тогда получим характеристическое уравнение:
Имеем комплексно-сопряженные корни вида
Здесь и
Тогда и
Используем формулу Эйлера:
Значит,
Таким образом, фундаментальная система решений: — линейно независимые функции.
Общее решение:
— частное решение ЛНДУ с постоянными коэффициентами. Для его нахождения используется метод подбора вида частного решения по виду правой части уравнения.
Правая часть второго типа:
В нашем уравнении и не совпадает корнем однородного ЛДУ, а именно: и , поэтому , где — неизвестный коэффициент, который нужно найти.
Здесь и
Подставим и в заданное уравнение со специальной правой частью:
Частное решение:
Общее решение заданного дифференциального уравнения:
Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется
По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.
Таким образом, рассматриваемый ряд сходится. Теперь нужно исследовать на абсолютной и условной сходимости ряда. Возьмём данный ряд по модулю
- расходящийся ряд, поскольку - гармонический ряд расходится. Следовательно, данный ряд сходится условно.
По интегральному признаку:
Несобственный интеграл сходится, а значит сходится и рассматриваемый ряд
Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) с постоянными коэффициентами.
Общее решение этого уравнения:
— общее решение соответствующего однородного уравнения:
Воспользуемся методом Эйлера. Подстановка: .
Тогда получим характеристическое уравнение:
Имеем комплексно-сопряженные корни вида
Здесь и
Тогда и
Используем формулу Эйлера:
Значит,
Таким образом, фундаментальная система решений: — линейно независимые функции.
Общее решение:
— частное решение ЛНДУ с постоянными коэффициентами. Для его нахождения используется метод подбора вида частного решения по виду правой части уравнения.
Правая часть второго типа:
В нашем уравнении и не совпадает корнем однородного ЛДУ, а именно: и , поэтому , где — неизвестный коэффициент, который нужно найти.
Здесь и
Подставим и в заданное уравнение со специальной правой частью:
Частное решение:
Общее решение заданного дифференциального уравнения:
ответ: