Решаем три системы уравнений x-y=5 х-у=13 х-у=31 x²+xy+y²=403 х²+ху+у²=155 х²+ху+у²=65
Решаем методом подстановки х=5+у (5+у)²+(5+у)·у+у²=403 ⇒ у²+5у-126=0 D=25+4·126=529=23² y₁=-14 y₂=9 x₁=5+y₁=5-14=-9 x₂=5+9=14 натуральные х и у это пара 14 и 9 14³-9³=2744-729=2015 - верно
х=13+у (13+у)²+(13+у)·у+у²=155 ⇒ 3у²+39у+14=0 D=39²-4·3·14=1353 получим х и у - иррациональные
х=31+у (31+у)²+(31+у)·у+у²=65 ⇒ 3у²+93у+104=0 D=93²-4·3·104= получим х и y иррациональные 3) Пусть n=4 x⁴-y⁴=(x²-y²)(x²+y²)=(x-y)(x+y)(x²+y²)
(x-y)(x+y)(x²+y²)=5·13·31 (х-у)·(х³+х²у+ху²+у³)=5·13·31 Получим системы х-у=5 х-у=13 х-у=31 х³+х²у+ху²+у³=403 х³+х²у+ху²+у³=155 х³+х²у+ху²+у³=65
1) Пусть
n=2
x²-y²=(x-y)·(x+y) т.е. (x-y)·(x+y)=5·13·31 ⇒
Решаем три системы уравнений
х-у=5 или х-у=13 или х-у=31
х+у=403 х+у=155 х+у=65
Складываем уравнения
2х=408 2х=168 2х=96
х=204 х=84 х=48
у=199 у=71 у=17
204²-199²=41616-39601=2015 - верно
84²-71²=7056-5041=2015 - верно
48²-17²=2304-289=2015 - верно
2) пусть n=3
x³-y³=(x-y)·(x²+xy+y²)
(x-y)·(x²+xy+y²)=2015
(x-y)·(x²+xy+y²)=5·13·31
Решаем три системы уравнений
x-y=5 х-у=13 х-у=31
x²+xy+y²=403 х²+ху+у²=155 х²+ху+у²=65
Решаем методом подстановки
х=5+у
(5+у)²+(5+у)·у+у²=403 ⇒ у²+5у-126=0 D=25+4·126=529=23²
y₁=-14 y₂=9
x₁=5+y₁=5-14=-9 x₂=5+9=14
натуральные х и у это пара 14 и 9
14³-9³=2744-729=2015 - верно
х=13+у
(13+у)²+(13+у)·у+у²=155 ⇒ 3у²+39у+14=0 D=39²-4·3·14=1353
получим х и у - иррациональные
х=31+у
(31+у)²+(31+у)·у+у²=65 ⇒ 3у²+93у+104=0 D=93²-4·3·104=
получим х и y иррациональные
3) Пусть n=4
x⁴-y⁴=(x²-y²)(x²+y²)=(x-y)(x+y)(x²+y²)
(x-y)(x+y)(x²+y²)=5·13·31
(х-у)·(х³+х²у+ху²+у³)=5·13·31
Получим системы
х-у=5 х-у=13 х-у=31
х³+х²у+ху²+у³=403 х³+х²у+ху²+у³=155 х³+х²у+ху²+у³=65
системы не имеют натуральных решений
4) При n=5
x⁵-y⁵=2015
(x-y)(x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴)=2015
и т.д
ответ.
при n=2
х=204 х=84 х=48
у=199 у=71 у=17
при n=3
x=14
y=9