Доказать, что любая функция(от k переменных) f: Fn*...*Fn -> Fn (где Fn - конечное поле) может быть представлена в виде многочлена от k переменных над полем Fn. Решить получилось только для функций одной переменной. Для этого я использую интерполяционный многочлен Лагранжа. Возможно это можно обобщить на функции нескольких переменных.

На скейтборде и на роликах умеют кататься 10 человек, а 3 из них катаются еще и на сноуборде. Следовательно, кататься только на скейтборде и на роликах умеют 10-3=7 ребят.Только на скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8-3=5 ребят, а только на сноуборде и на роликах 5-3=2 человека. Кататься на сноуборде умеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них умеют кататься на других видах, следовательно, только на сноуборде умеют кататься 20 ребят.Только на скейтборде умеют кататься 13 ребят, а только на роликах – 30 ребят. Всего 100 ребят. 20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном виде. Следовательно, 20 человек не умеют вообще ни на чём кататься.

Заметим, что подряд не могут сидеть 5 рыцарей: для крайнего левого справа уже сидят 4 рыцаря, вне зависимости от того, кто будет пятым, хотя бы двоих лжецов не будет.

Рассмотрим лжеца. Справа от него должны сидеть 4 рыцаря и лжец, запишем рассадку так: Л{nР}Л{mР} — лжец, потом n рыцарей, потом опять лжец и m = 4 - n рыцарей. Докажем, что следующая шестёрка будет сидеть так же.
Следующим будет сидеть лжец, чтобы рыцарь, сидящий на втором месте, сказал правду. Затем 4 - m = n рыцарей, чтобы лжец, сидящий на месте n + 2, соврал. Затем снова лжец, чтобы рыцарь на месте n + 3, соврал, и ещё m рыцарей для лжеца на 7 месте.

Итого, лжецы и рыцари сидят десятью одинаковыми шестёрками, в каждой из которых по 4 рыцаря и 2 лжеца.
Всего получается 4 * 10 = 40 рыцарей.