Математика: Доказать, что при любом N ∈ n выполняется равенство

Преобразуем каждое слагаемое:....................................Вместо каждого слагаемого подставим разность дробей: Доказано....

Доказать, что при любом N ∈ n выполняется равенство

Показать ответ

Ответ:

лёха1920

15.10.2020 13:25

$\frac{1}{a(a+1)}+ \frac{1}{(a+1)(a+2)}+ \frac{1}{(a+2)(a+3)}+...+ \frac{1}{(a+n-1)(a+n)}=\frac{n}{a(a+n)}$

Преобразуем каждое слагаемое:

$\frac{1}{a(a+1)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}$

$\frac{1}{(a+1)(a+2)}=\frac{1}{a+1}-\frac{1}{a+2}$

$\frac{1}{(a+2)(a+3)}=\frac{1}{a+2}-\frac{1}{a+3}$

....................................

$\frac{1}{(a+n-1)(a+n)}=\frac{1}{a+n-1}-\frac{1}{a+n}$

Вместо каждого слагаемого подставим разность дробей:

$(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1} )+( \frac{1}{a+1}-\frac{1}{a+2})+( \frac{1}{a+2}-\frac{1}{a+3})+...+( \frac{1}{a+n-1}-\frac{1}{a+n})=\frac{n}{a(a+n)}$

$\frac{1}{a}-(\frac{1}{a+1}+ \frac{1}{a+1})-(\frac{1}{a+2}- \frac{1}{a+2})-(\frac{1}{a+3}-\frac{1}{a+3})-...-(\frac{1}{a+n-1}-\frac{1}{a+n-1} )-\frac{1}{a+n}=\frac{n}{a(a+n)}$

$\frac{1}{a}-0-0-0-...-0-\frac{1}{a+n}=\frac{n}{a(a+n)}$

$\frac{1}{a}-\frac{1}{a+n}=\frac{n}{a(a+n)}$

$\frac{1*(a+n)-1*a}{a(a+n)}=\frac{n}{a(a+n)}$

$\frac{a+n-a}{a(a+n)}=\frac{n}{a(a+n)}$

$\frac{n}{a(a+n)}=\frac{n}{a(a+n)}$

Доказано.

0,0(0 оценок)

Популярные вопросы: Математика

ВіКтОрІя0901

05.04.2021 22:17

Яку найбільшу кількість однакових новорічних подарунків можна зробити з 320 горіхів, 280 шоколадок і 200 мандаринок. По скільки горіхів, шоколадок, мандаринок буде в 1...

tupykomiks

18.04.2023 08:38

За сільхоз техніку було сплачено 40% її вартості, після чого залишилось сплатити на 160000 грн. більше того, що було сплачено. Скільки коштує вся сільхозтехніка задача...

tratatya

10.05.2022 10:28

со следующим заданием: найдите число, 30% которого равны 3/√(7-√40) + 3/√5 + √2...

irina707

22.02.2021 13:12

Дано: AD, AB, BC - касательные к окружности, D, M, C - касательные, KA = B = 60 , BM = x. Напишите выражение, выражающее длину периметра треугольника DMC. ...

Alexy7406

11.04.2022 19:31

415×602-2433+9118:97=...

livr5

15.08.2022 23:48

Себестоимость изготовления одной детали — 773 р. Внедрение новой технологии позволило снизить себестоимость детали на 2 %. Какой стала себестоимость детали?...

Роззе

16.11.2020 22:50

Човен пройшов проти течії 4 км і повернувся назад, витративши на зворотний шлях на 15 хв менше, ніж при русі проти течії. знайдіть швидкість човна vч у стоячій воді (у...

катюха134567889000

29.10.2020 04:24

1) б) 7,1; 0,18; 0,3210 – в виде обыкновенной дроби. вычислите: а) 8,2 + (10,8 – 3,24); б) 29,349 : 10; в) 9,12 · 0,3; г) 69,12 : 1,2....

Naruto1111111111

16.05.2023 00:01

Найти производные 1) y =ln^2(x+cosx) 2) y = (cosln7*sin^2*7x)/(7cos14x) 3) y = (1/4)ln*((x-1)/(x+1)) - (1/2)arctgx 4) y = 2arcsin(2/(3x+4))+sqrt(9x^2+24x+12) ; 3x+4 0...

Анастасияя12345

20.02.2021 04:14

Найди нод и нок чисел по их разложению на простые множители: а= 2×3²×5²×5²×7³; б=2×3²×7...

Полный доступ

Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку