В
Все
М
Математика
О
ОБЖ
У
Українська мова
Х
Химия
Д
Другие предметы
Н
Немецкий язык
Б
Беларуская мова
М
Музыка
Э
Экономика
Ф
Физика
Б
Биология
О
Окружающий мир
У
Українська література
Р
Русский язык
Ф
Французский язык
П
Психология
О
Обществознание
А
Алгебра
М
МХК
Г
География
И
Информатика
П
Право
А
Английский язык
Г
Геометрия
Қ
Қазақ тiлi
Л
Литература
И
История
Darya0192
Darya0192
14.02.2022 19:34 •  Математика

Доказать, что при любом N ∈ n выполняется равенство


Доказать, что при любом N ∈ n выполняется равенство

Показать ответ
Ответ:
лёха1920
лёха1920
15.10.2020 13:25

\frac{1}{a(a+1)}+ \frac{1}{(a+1)(a+2)}+ \frac{1}{(a+2)(a+3)}+...+ \frac{1}{(a+n-1)(a+n)}=\frac{n}{a(a+n)}

Преобразуем каждое слагаемое:

\frac{1}{a(a+1)}=\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}

\frac{1}{(a+1)(a+2)}=\frac{1}{a+1}-\frac{1}{a+2}

\frac{1}{(a+2)(a+3)}=\frac{1}{a+2}-\frac{1}{a+3}

....................................

\frac{1}{(a+n-1)(a+n)}=\frac{1}{a+n-1}-\frac{1}{a+n}

Вместо каждого слагаемого подставим разность дробей:

(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1} )+( \frac{1}{a+1}-\frac{1}{a+2})+( \frac{1}{a+2}-\frac{1}{a+3})+...+( \frac{1}{a+n-1}-\frac{1}{a+n})=\frac{n}{a(a+n)}

\frac{1}{a}-(\frac{1}{a+1}+ \frac{1}{a+1})-(\frac{1}{a+2}- \frac{1}{a+2})-(\frac{1}{a+3}-\frac{1}{a+3})-...-(\frac{1}{a+n-1}-\frac{1}{a+n-1} )-\frac{1}{a+n}=\frac{n}{a(a+n)}

\frac{1}{a}-0-0-0-...-0-\frac{1}{a+n}=\frac{n}{a(a+n)}

\frac{1}{a}-\frac{1}{a+n}=\frac{n}{a(a+n)}

\frac{1*(a+n)-1*a}{a(a+n)}=\frac{n}{a(a+n)}

\frac{a+n-a}{a(a+n)}=\frac{n}{a(a+n)}

\frac{n}{a(a+n)}=\frac{n}{a(a+n)}  

Доказано.

0,0(0 оценок)
Популярные вопросы: Математика
Полный доступ
Позволит учиться лучше и быстрее. Неограниченный доступ к базе и ответам от экспертов и ai-bota Оформи подписку
logo
Начни делиться знаниями
Вход Регистрация
Что ты хочешь узнать?
Спроси ai-бота