Дана точка М (3;0; 1) и векторы а = (0; -1; 1) и б= (4:2;0).
Для начала надо найти координаты вектора, перпендикулярного искомой плоскости. Таковым является векторное произведение заданных векторов:
i j k| i j
0 -1 1| 0 -1
4 2 0| 4 2 = 0i + 4j + 0k - 0j - 2i + 4k =
= -2i + 4j + 4k.
Координаты нормального вектора (-2; 4; 4).
Вспомним, что в уравнении плоскости Ax+By+Cz+D=0 вектор (A;B;C) является вектором, перпендикулярной заданной плоскости. Поэтому искомое уравнение имеет вид -2x + 4y + 4z + D = 0
Остается найти свободный коэффициент D - его найдем из условия, что плоскость проходит через точку М (3;0; 1).
Дана система:
A =
2 -1 3
1 2 -1
3 -3 -2 .
BT = (7,4,1) .
Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю.
Определитель:
∆ = 2*(2*(-2)-(-3)*(-1))-1*((-1)*(-2)-(-3)*3)+3*((-1)*(-1)-2*3) = -40 .
Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В.
7 -1 3
4 2 -1
1 -3 -2 .
Найдем определитель полученной матрицы.
∆1 = 7*(2*(-2)-(-3)*(-1))-4*((-1)*(-2)-(-3)*3)+1*((-1)*(-1)-2*3) = -98 .
Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В.
2 7 3
1 4 -1
3 1 -2 .
Найдем определитель полученной матрицы.
∆2 = 2*(4*(-2)-1*(-1))-1*(7*(-2)-1*3)+3*(7*(-1)-4*3) = -54 .
Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В.
2 -1 7
1 2 4
3 -3 1 .
Найдем определитель полученной матрицы.
∆3 = 2*(2*1-(-3)*4)-1*((-1)*1-(-3)*7)+3*((-1)*4-2*7) = -46.
Выпишем отдельно найденные переменные:
x = -98 / -40 = 2,45
y = -54 / -40 = 1,35
z = -46 / -40 = 1,15 .
Проверка.
2*2.45-1*1.35+3*1.15 = 7 .
1*2.45+2*1.35-1*1.15 = 4 .
3*2.45-3*1.35-2*1.15 = 1 .
Дана точка М (3;0; 1) и векторы а = (0; -1; 1) и б= (4:2;0).
Для начала надо найти координаты вектора, перпендикулярного искомой плоскости. Таковым является векторное произведение заданных векторов:
i j k| i j
0 -1 1| 0 -1
4 2 0| 4 2 = 0i + 4j + 0k - 0j - 2i + 4k =
= -2i + 4j + 4k.
Координаты нормального вектора (-2; 4; 4).
Вспомним, что в уравнении плоскости Ax+By+Cz+D=0 вектор (A;B;C) является вектором, перпендикулярной заданной плоскости. Поэтому искомое уравнение имеет вид -2x + 4y + 4z + D = 0
Остается найти свободный коэффициент D - его найдем из условия, что плоскость проходит через точку М (3;0; 1).
Подставляем значения в уравнение:
-2*3 + 4*0 + 4*1 + D = 0,
-6 + 0 + 4 + D = 0 ,
D = 2 .
Искомое уравнение -2x + 4y + 4z + 2 = 0. Сократим на (-2).
ответ: x - 2y - 2z - 1 = 0