Доказать равенство вторых частных производных функции z=z(x,y) и найти значение выражения p(x,y)=2*((d^2z)/dy^2)-3*((d^2z)/dy^2) в точке Мо(1;0) z=arccos y/x

Чтобы доказать равенство вторых частных производных функции z=z(x,y), нам надо сначала вычислить эти производные, а затем сравнить их.

Давайте начнем с вычисления вторых частных производных функции z(x, y).

1. Вычислим сначала частную производную функции z(x, y) по переменной x:
dz/dx = d(arccos(y/x))/dx

Чтобы взять эту производную, воспользуемся формулой для производной арккосинуса:
d(arccos(u))/du = -1/√(1-u^2), где u - некоторая функция.

В данном случае u = y/x, поэтому получаем:
dz/dx = -1/√(1-(y/x)^2) * (d(y/x)/dx)

Теперь возьмем производную d(y/x)/dx:
d(y/x)/dx = (1/x)(dy/dx) - (y/x^2)

Подставляем это обратно в выражение для dz/dx:
dz/dx = -1/√(1-(y/x)^2) * ((1/x)(dy/dx) - (y/x^2))

Упрощаем это выражение:
dz/dx = -1/√(1-(y/x)^2) * (1/x)(dy/dx) + y/(x^2√(1-(y/x)^2))

2. Теперь вычислим частную производную функции z(x, y) по переменной y:
dz/dy = d(arccos(y/x))/dy

Снова используем формулу для производной арккосинуса:
dz/dy = -1/√(1-(y/x)^2) * (d(y/x)/dy)

Аналогично предыдущему шагу, находим производную d(y/x)/dy:
d(y/x)/dy = (1/x)(dy/dy) - (y/x^2)

Подставляем это обратно в выражение для dz/dy:
dz/dy = -1/√(1-(y/x)^2) * ((1/x)(dy/dy) - (y/x^2))

Упрощаем это выражение:
dz/dy = -1/√(1-(y/x)^2) * ((1/x)(1) - (y/x^2))

Упрощаем еще раз:
dz/dy = -1/√(1-(y/x)^2) * (1/x - y/x^2)
= -(y/x^3)/√(1-(y/x)^2)

3. Теперь найдем вторые частные производные функции z(x, y).
Найдем вторую частную производную по x (d^2z/dx^2):
d^2z/dx^2 = d/dx(-1/√(1-(y/x)^2) * (1/x)(dy/dx) + y/(x^2√(1-(y/x)^2)))

Вычисляем производную:
d^2z/dx^2 = -d/dx(1/√(1-(y/x)^2)) * (1/x)(dy/dx) + d/dx(y/(x^2√(1-(y/x)^2)))

Найдем производную d/dx(1/√(1-(y/x)^2)):
d/dx(1/√(1-(y/x)^2)) = (-1/2)(1-(y/x)^2)^(-3/2) * (-2(y/x^3)(dy/dx))

Найдем производную d/dx(y/(x^2√(1-(y/x)^2))):
d/dx(y/(x^2√(1-(y/x)^2))) = (1/(x^2√(1-(y/x)^2)))(dy/dx) - y/(x^3√(1-(y/x)^2))(-2(y/x^3)(dy/dx))

Подставляем оба значения обратно в выражение для d^2z/dx^2:
d^2z/dx^2 = (-1/2)(1-(y/x)^2)^(-3/2) * (-2(y/x^3)(dy/dx))(1/x)(dy/dx) + (1/(x^2√(1-(y/x)^2)))(dy/dx) - y/(x^3√(1-(y/x)^2))(-2(y/x^3)(dy/dx))

Упрощаем это выражение:
d^2z/dx^2 = (y/x^3)^2/(1-(y/x)^2)^(3/2) + (1/(x^2√(1-(y/x)^2)))(dy/dx) - (y/x^3)^2/(1-(y/x)^2)^(3/2) - (1/(x^2√(1-(y/x)^2)))(dy/dx)

Упрощаем еще раз:
d^2z/dx^2 = 2(y/x^3)^2/(1-(y/x)^2)^(3/2)

4. Найдем вторую частную производную по y (d^2z/dy^2):
d^2z/dy^2 = -d/dy((y/x^3)/√(1-(y/x)^2))

Вычисляем производную:
d^2z/dy^2 = -d/dy((y/x^3)(1-(y/x)^2)^(-1/2))

Найдем производную d/dy((y/x^3)(1-(y/x)^2)^(-1/2)):
d/dy((y/x^3)(1-(y/x)^2)^(-1/2)) = (1/x^3)(1-(y/x)^2)^(-1/2) + (y/x^3)(-1/2)(1-(y/x)^2)^(-3/2)(-2(y/x^3)(dy/dy))

Подставляем это обратно в выражение для d^2z/dy^2:
d^2z/dy^2 = -((1/x^3)(1-(y/x)^2)^(-1/2) + (y/x^3)(-1/2)(1-(y/x)^2)^(-3/2)(-2(y/x^3)(1)))

Упрощаем это выражение:
d^2z/dy^2 = -(1/x^3)(1-(y/x)^2)^(-1/2) + y/(x^3√(1-(y/x)^2))

5. Теперь найдем значение выражения p(x, y) = 2*((d^2z)/dy^2) - 3*((d^2z)/dy^2) в точке M(1, 0) z=arccos(y/x).
Мы уже вычислили вторые частные производные ранее:
d^2z/dx^2 = 2(y/x^3)^2/(1-(y/x)^2)^(3/2)
d^2z/dy^2 = -(1/x^3)(1-(y/x)^2)^(-1/2) + y/(x^3√(1-(y/x)^2))

Подставляем значения в выражение для p(x, y):
p(x, y) = 2*((d^2z)/dy^2) - 3*((d^2z)/dy^2)
= 2*(-(1/x^3)(1-(y/x)^2)^(-1/2) + y/(x^3√(1-(y/x)^2))) - 3*(2(y/x^3)^2/(1-(y/x)^2)^(3/2))

Упрощаем это выражение:
p(x, y) = -2/(x^3√(1-(y/x)^2)) + 2y/(x^3(1-(y/x)^2)^(-1/2)) - 12(y/x^3)^2/(1-(y/x)^2)^(3/2)

Подставляем значения x = 1 и y = 0:
p(1, 0) = -2/(1^3√(1-(0/1)^2)) + 2(0)/(1^3(1-(0/1)^2)^(-1/2)) - 12(0/1^3)^2/(1-(0/1)^2)^(3/2)

Упрощаем это выражение:
p(1, 0) = -2/(√1) + 0 - 0

Поскольку √1 = 1 и все остальные слагаемые равны 0, получаем:
p(1, 0) = -2/(1)
= -2

Таким образом, значение выражения p(x, y) в точке М(1, 0) для функции z=arccos(y/x) равно -2.