Докажите, что 27^5 – 9^7 + 3^12 делится на 19​

Очевидно, что кол-во попарных произведений = разных n*(n-1)/2, если ещё и квадраты учесть, то n(n+1)/2.
При любом варианте (условия даны не строго), мы получаем не слишком большое число, так что нахрапом не выйдет.
Однако другой тоже лёгкий и очевидный, сразу ведёт к результату.
Для этого нам надо представить данные числа как =5*натуральное + остаток. Тогда остаток от деления на 25 сразу будет просто произведением этих остатков, тут, я думаю, всё ясно (даже мне, а я был троечником).
Далее, эти остатки очевидно находятся в интервале от 0 до 4 (5 вариантов максимум). Т. к. чисел 7, то хотя бы у 3 совпадут остатки и, следовательно, и остаток у произведения/25. Собственно, всё.

Всего чисел 2017, так как после проведения операции, стираются два числа и записывается одно новое, то общее количество чисел уменьшается за операцию на одно, а значит всего операций будет 2017-1=2016 (так как последнее число одно единственное мы с ним ничего делать уже не можем)

Далее из преобразования видно, что после каждой операции общая сумма чисел на доске уменьшается на 1, и в результате после проведения всех операций мы получим общую сумму чисел разность с количеством операций

общая сумма чисел равна 1+2+3+...+2017=2017*2018:2=2035153
а число оставшееся на доске будет 2035153-2016=2033137
ответ: 2033137