Докажем, что нечетное число в квадрате всегда дает остаток 1 при делении на 8 (поэтому, если отнять 1, то получится число, делящееся на 8):
Данное число (если отнять 1) делится на 4 по разложению и еще на 2, так как n²+n по-любому четное (нечет. + нечет. = чет.). И: 4*2=8.
То есть, второй множитель, и, тогда, само число делится на 8. И нужно доказать, что оно еще должно делиться на 3.
1. Если n кратно трем, то задача решена: один множитель кратен 3, и, тогда, само произведение.
2. n не делится на 3. Докажем, что квадрат числа (если оно не делится на 3 и имеет остатки либо 1, либо 2) всегда дает остаток 1 при делении на 3 (и если от него отнять 1, то получится число, делящееся на 3):
Итого: если число делится и на 3, и на 8, то оно делится на 3*8=24, что и требовалось доказать!
Пошаговое объяснение:
Представим в виде : n*(n+1)*(n-1). Это число -произведение 3-х последовательных чисел. Значит оно делится на 3.
Пусть n - нечетное и равно 2м+1.
Тогда выражение принимает вид n*(2м+2)*2м=4*n*(м+1)*м,
т.е. оно делится на 4. Итак число делится на 12. Но из пары (м+1) и (м) одно обязательно четное. Значит число делится на 24. Что и требуется.
Вначале заметим, что:
Докажем, что нечетное число в квадрате всегда дает остаток 1 при делении на 8 (поэтому, если отнять 1, то получится число, делящееся на 8):
Данное число (если отнять 1) делится на 4 по разложению и еще на 2, так как n²+n по-любому четное (нечет. + нечет. = чет.). И: 4*2=8.
То есть, второй множитель, и, тогда, само число делится на 8. И нужно доказать, что оно еще должно делиться на 3.
1. Если n кратно трем, то задача решена: один множитель кратен 3, и, тогда, само произведение.
2. n не делится на 3. Докажем, что квадрат числа (если оно не делится на 3 и имеет остатки либо 1, либо 2) всегда дает остаток 1 при делении на 3 (и если от него отнять 1, то получится число, делящееся на 3):
Итого: если число делится и на 3, и на 8, то оно делится на 3*8=24, что и требовалось доказать!