Докажите, что два натуральных числа аиы обладают следующими свойствами: либо а, либо b, либо a+b, либо a-b делится на 3.
Указание.
1)Какие остатки от деления на 3 может иметь число?
2) Рассмотрите случаи когда,
1.числа кратны 3
2.числа имеют одинаковые остатки от деления
3.числа числа имеют разные остатки от деления на 3
1) Остатками от деления на 3 могут быть только 0, 1 и 2. Проверим это:
- Если число a кратно 3, то остаток от его деления на 3 будет равен 0.
- Если число a имеет остаток от деления на 3 равный 1, то оно может быть представлено в виде a = 3k + 1, где k - целое число.
- Если число a имеет остаток от деления на 3 равный 2, то оно может быть представлено в виде a = 3k + 2, где k - целое число.
2) Рассмотрим случай, когда оба числа a и b кратны 3. Пусть a = 3k и b = 3m, где k и m - целые числа. Тогда a и b делятся на 3 без остатка, а значит и a+b и a-b также будут кратны 3.
3) Теперь рассмотрим случай, когда числа a и b имеют одинаковые остатки от деления на 3. Пусть a = 3k + x и b = 3m + x, где k, m - целые числа, а x - остаток от деления на 3. Тогда a+b = (3k + x) + (3m + x) = 3(k + m) + 2x. Здесь видно, что a+b тоже имеет остаток от деления на 3, равный 2x. Также a-b = (3k + x) - (3m + x) = 3(k - m), что также делится на 3 без остатка.
4) Последний случай: числа a и b имеют разные остатки от деления на 3. Пусть a = 3k + x и b = 3m + y, где k, m - целые числа, a x и y - остатки от деления на 3. Тогда a+b = (3k + x) + (3m + y) = 3(k + m) + (x + y). Остаток от деления на 3 суммы x и y может быть 0, 1 или 2. То есть, a+b может быть как кратно 3, так и иметь остаток.
Таким образом, мы доказали, что два натуральных числа a и b обладают свойствами: либо а, либо b, либо a+b, либо a-b делится на 3.