Докажите, что n в 5 степени− 15n в 3 степени+ 54n делится на 5 при любом целом п.

Надо доказать М=n^5-15n^3+54n кратно 5.

Прежде всего проверим : n=1  М=54-14=40

                                                n=2   М=32-120+48=-40

Правдоподобно.

М=n*(n^4-15n^2+54) Если n кратно 5, то факт верен.

Покажем, что если n не кратно 5, то выражение в скобках кратно 5.

n^4-15n^2+54=n^4-25n^2+10n^2+54

Если n=5к+1  или n=5к-1 то утверждение очевидно, верно

(остаток от деления n^4 на 5 равен 1)

Если n=5к+2 или 5к-2, то остаток от деления n^4 на 5 равен остатку от деления 16 на 5, т.е. тоже 1. Утверждение верно.

Если n=5к+3 или 5к-3, то остаток от деления n^4 на 5 равен остатку от деления 81 на 5 т.е. тоже 1. Утверждение доказано.