Докажите, что при любом натуральном n n³+(n+1)³ + (n+2)³ делится нацело на 9

заменим для удобства n+1=m

n³+(n+1)³ + (n+2)³=(m-1)³+m³+(m+1)³=

=m³ +(m-1+m+1)((m-1)²-(m-1)(m+1)+(m+1)²)=

= m³+2m( m²-2m+1- m²+1+ m²+2m+1)=

=m³+2m (m²+3)= 3m³+6m=3m (m²+2)

чтобы доказать , что 3m (m²+2) делится на 9, мы докажем, что выражение m(m²+2) делится на 3

используем мат.индукцию:

1) при m=2

m(m²+2)=2•(2²+2)=3•6=18 делится на 6

2) теперь при m=k

k(k²+2) делится на 3

3) докажем равенство при m=k+1

(k+1)((k+1)²+2)=((k+1)³+2k+2)= k³+3k²+3k+1+2k+2=

=k³+3k²+5k+3= k(k²+2)+ 3(k²+k+1)

первое слагаемое делится на три, второе тоже, значит (k+1)((k+1)²+2) делится на 3

А это значит, что по матиндукции

мы доказали, что m(m²+2) делится на 3 , при целых m≥2

а это означает, что 3m (m²+2) делится на 9

то есть (m-1)³+m³+(m+1)³ делится на 9 при целых m≥2

а это значит:

n³+(n+1)³ + (n+2)³ делится на 9 при натуральных n

пусть n кратно 3, т.е. равно  3k. Тогда

(3k+1)^3 + (3k+2)^3=(3k+3)*((3k+1)^2+(3k+2)^2-(3k+1)*(3k+2))

Легко видеть, что *((3k+1)^2+(3k+2)^2-(3k+1)*(3k+2))делится на 3. Если раскрыть скобки единственное слагаемое не содержащее множителя 3k

равно 1+4-2=3.

также можно рассмотреть n+1=3k и  n+2=3k

Если n+1=3k  n=3k-1  n+2=3k+1

Такое же как и в предыдущем случае слагаемое

равно 1+4+1=6

Если  n+2=3k  n=3k-2     n+1=3k-1

Такое же как и в предыдущих случае слагаемое

4+1-2=3

Но так мы рассмотрели все возможные случаи.