Докажите что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата являются вершинами еще одного квадрата

АО=ОС 
ВО=ОД 
ВО=ОС, 
ВО=АО 
т.е. треугольники ВОС и АОВ равнобедренные и равны между собой. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов. Значит треугольники АОВ и ВОС имеют острые углы 90/2=45 градусов. 
При условии, что ОЕ перпендикулярно ВС и ОF перпендикулярно АВ прямые ОЕ и OF являются : 
- высотами 
- биссектрисами 
-медианами 
этих треугольников. 
АВ перпендиклярна ВС, а значит и прямые OF и ОЕ взаимно перпендикулярны. 
OF=ОЕ как высоты равных треугольников. 
ВЕ=ЕС=AF=FB как медианы равных треугольников 
Отсюда FB=ВЕ=ЕО=ОF