Докажите по индукции данное утверждение по подробнее - вопрос №13974925 от FrenkieMC 11.01.2021 05:38

Question

Математика: Докажите по индукции данное утверждение по подробнее

FrenkieMC · Answer

Условие не является полным. Это известное неравенство так называемое неравенство Бернулли и оно гласит, что для $\alpha \geq -1$ имеет место неравенство $(1+\alpha)^n\geq 1+n\alpha,~ n \in Z_+$

1) При n=0 база индукции выполнено: $1\geq 1$

2) Предположим, что для n=k имеет место неравенство

$(1+\alpha)^k\geq 1+k\alpha$

3) Докажем, что $(1+\alpha)^{k+1}\geq 1+(k+1)\alpha$

$(1+\alpha)^{k+1}=(1+\alpha)(1+\alpha)^k\geq (1+k\alpha)(1+\alpha)= 1+k\alpha+\alpha+k\alpha^2\geq\\ \\ \geq1+k\alpha+\alpha=1+(k+1)\alpha$

Неравенство верно из предположения 2). Утверждение доказано.