Для доказательства данного тождества, нам понадобится использовать различные тригонометрические формулы и идентичности.
Начнем с левой стороны тождества:
1 - 2sin^2(п/4 - а/2)
Заметим, что площадь треугольника с углом 45° и основанием на одном из углов равна половине площади квадрата, поэтому данное тождество может быть записано в следующем виде:
1 - 2sin^2(45° - а/2)
Для перевода данного выражения в более удобную форму, воспользуемся формулой синуса разности:
sin(а - b) = sin a * cos b - cos a * sin b
Начнем с левой стороны тождества:
1 - 2sin^2(п/4 - а/2)
Заметим, что площадь треугольника с углом 45° и основанием на одном из углов равна половине площади квадрата, поэтому данное тождество может быть записано в следующем виде:
1 - 2sin^2(45° - а/2)
Для перевода данного выражения в более удобную форму, воспользуемся формулой синуса разности:
sin(а - b) = sin a * cos b - cos a * sin b
Применяя эту формулу, получим:
1 - 2(sin^2 45° * cos^2 (а/2) - cos^2 45° * sin^2 (а/2))
Заметим, что sin 45° и cos 45° равны 1/√2, следовательно:
1 - 2((1/√2)^2 * cos^2 (а/2) - (1/√2)^2 * sin^2 (а/2))
Упрощая выражение:
1 - 2(1/2 * cos^2 (а/2) - 1/2 * sin^2 (а/2))
Сокращаем коэффициенты:
1 - (cos^2 (а/2) - sin^2 (а/2))
Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла:
sin(2у) = 2sinу * cos у
Применяя эту формулу, получим:
1 - (cos^2 (а/2) - sin^2 (а/2)) = 1 - cos^2 (а/2) + sin^2 (а/2)
Заметим, что тождество cos^2 у + sin^2 у = 1 является известной тригонометрической идентичностью, поэтому:
1 - cos^2 (а/2) + sin^2 (а/2) = 1
Таким образом, проведя все эти преобразования, мы получаем, что левая сторона тождества равна 1.
Теперь перейдем к правой стороне тождества: sina.
Так как мы знаем, что sin(п/4) = √2/2, то можно представить правую сторону тождества в следующем виде:
√2/2
Очевидно, что 1 не равно √2/2, следовательно, левая и правая стороны тождества не равны друг другу, и тождество не доказано.
Следовательно, данное тождество 1 - 2sin^2(п/4 - а/2) = sina неверно.