Домашнее задание 1. На диаграмме Эйлера указано число элементарных событий, благоприятствующих каждому из двух событий и .
а) Сделайте рисунок в тетради и заштрихуйте объединение событий и . Сколько элементарных событий благоприятствует событию ?
б) Известно, что всего элементарных событий в эксперименте 60. Сколько элементарных событий благоприятствует событиям: , , ?
2. Игральную кость бросают дважды. Событие — «в первый раз выпало шесть очков». Событие — «во второй раз выпало шесть очков».
а) Опишите словами событие . Выпишите элементарные события, благоприятствующие каждому из данных событий и событию ;
б) Найдите .
3. Монету бросают трижды. Событие А состоит в том, что первым выпал орёл. Событие В состоит в том, что последним выпал орел.
а) Опишите словами событие . Выпишите элементарные события, благоприятствующие каждому из данных событий и событию ;
б) Найдите .
4. Событию U благоприятствуют 15 элементарных событий, а событию V — 9 элементарных событий. Из этих 9 элементарных событий 4 благоприятствуют сразу двум событиям. Нарисуйте в тетради соответствующую диаграмму Эйлера. Сколько элементарных событий благоприятствует событию ?
5. На автоматической линии изготавливают подшипники. Стандартный размер подшипника — 35 мм, а допустимое отклонение равно 0,1 мм. Вероятность того, что подшипник будет больше 35,1 мм, равна 0,015, а вероятность того, что подшипник будет меньше 34,9 мм, равна 0,025. Найдите вероятность того, что случайно взятый подшипник, изготовленный на этой линии, будет иметь отклонение от стандарта не более допустимого.
6*. Докажите, что для любых событий и верно, что > P(A).
а) Сделайте рисунок в тетради и заштрихуйте объединение событий и . Сколько элементарных событий благоприятствует событию ?
б) Известно, что всего эле
б) В задаче сказано, что всего элементарных событий в эксперименте 60. Нам нужно вычислить, сколько элементарных событий благоприятствует каждому из трех событий. Для этого нужно разделить общее количество элементарных событий (60) на количество событий, благоприятствующих каждому из трех событий. Полученный результат будет являться ответом на вопрос.
2.а) Событие A означает, что в первый раз выпало шесть очков. В этом случае у нас есть 6 элементарных событий, благоприятствующих этому событию, так как на игральной кости всего 6 граней и на одной из них изображена шестерка. Событие B означает, что во второй раз выпало шесть очков. В этом случае также имеется 6 элементарных событий, благоприятствующих данному событию. Для события AB нужно перемножить количество элементарных событий благоприятствующих событию A на количество элементарных событий благоприятствующих событию B, так как для каждого элементарного события из A существует 6 возможных элементарных событий из B. Полученный результат будет являться ответом на вопрос.
б) В данном случае, чтобы найти вероятность , нам нужно посчитать количество элементарных событий, благоприятствующих событию , и разделить это число на общее количество элементарных событий. Полученное значение будет являться ответом на вопрос.
3.а) Событие A означает, что первым выпал орел. В этом случае у нас есть 4 элементарных события, благоприятствующих данному событию, так как первая монета может выпасть орлом в 4 различных вариантах. Событие B означает, что последним выпал орел. В этом случае также имеется 4 элементарных события, благоприятствующих данному событию. Для события AB нужно перемножить количество элементарных событий благоприятствующих событию A на количество элементарных событий благоприятствующих событию B. Полученный результат будет являться ответом на вопрос.
б) В данном случае, чтобы найти вероятность , нам нужно посчитать количество элементарных событий, благоприятствующих событию , и разделить это число на общее количество элементарных событий. Полученное значение будет являться ответом на вопрос.
4. Нам дано, что событию U благоприятствуют 15 элементарных событий, а событию V - 9 элементарных событий, из которых 4 благоприятствуют сразу двум событиям. Задача требует построить диаграмму Эйлера, на которой изображены события U и V, а пересечение этих событий будет обозначено областью, где благоприятствуют сразу двум событиям. Чтобы найти количество элементарных событий, благоприятствующих событию , нужно сложить количество элементарных событий, благоприятствующих только событию U, с количеством элементарных событий, благоприятствующих только событию V, и вычесть количество элементарных событий, благоприятствующих обоим событиям. Полученное число будет являться ответом на вопрос.
5. Вероятность подшипника быть больше 35,1 мм составляет 0,015, а вероятность быть меньше 34,9 мм равна 0,025. Чтобы найти вероятность того, что подшипник будет иметь отклонение от стандарта не более допустимого (0,1 мм), нужно сложить вероятность подшипников, которые будут больше 35,1 мм, и вероятность тех, которые будут меньше 34,9 мм. Полученное значение будет являться ответом на вопрос.
6*. Это утверждение можно вывести, используя основные свойства вероятности и определение условной вероятности. Данное утверждение можно переписать в виде:
P(U ∪ V) > P(U)
Чтобы доказать это утверждение, применим аддитивное свойство вероятности. Аддитивное свойство вероятности гласит, что вероятность объединения двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их пересечения:
P(U ∪ V) = P(U) + P(V) - P(U ∩ V)
Учитывая, что вероятность любого события не может быть отрицательной, получаем следующее неравенство:
P(U ∪ V) - P(U) ≥ 0
Таким образом, мы доказали, что P(U ∪ V) ≥ P(U).