Домашнее задание:Вычислить площадь фигур, ограниченных линиями:
у = 3х -1, у = 0, х = 2, х = 4.
у = х^2, у = 0, х = 2, х = 3.
у = 4х^3, у = 0, х = 2, х =-1.
у = х^2+1, у = 0, х = 2, х = -1
у = х^3-3, у = 0, х = -1, х = 1.
у = -3х^2, у = 0, х = 1, х = 2.

Пусть члены жюри как-то сели за стол. Занумеруем их по часовой стрелке, начиная от Николая Николаевича. Затем удалим всех, кроме Николая Николаевича, из-за стола и будем запускать их обратно в порядке их номеров. Рассадка при такой операции не изменится. Таким образом, можно считать, что члены жюри заходят в таком порядке, что занимают места за столом по часовой стрелке.   Занумеруем места за столом по часовой стрелке так, чтобы место, где должен был сесть Николай Николаевич, имело номер 12 (т.е. Николай Николаевич сел на первое место).   Пусть в некоторый момент за столом заняты k мест и k < 11. Тогда в этот момент никто из тех, кто должен занять места от k + 1 до 11, еще не пришел. А всего еще не пришло 12 – k членов жюри, значит еще не пришел только один человек, чье место уже занято. Следовательно, на место номер k + 1 может сесть один из двух еще не пришедших членов жюри: либо тот, чье это место, либо тот, чье место уже занято.   Таким образом, каждое место с номером от 2 до 11 может быть занято двумя а место номер 12 одним Следовательно, всего может возникнуть рассадки членов жюри.    

Пусть дана трапеция ABCD, BC||AD AC=3, BD=5 среднняя линия трапеции EF=2, по свойству средней линии трапеции BC+AD=2*EF=2*2=4 Пусть диагонали пересекаются в точке О Пусть BC=x см, тогда AD=4-x см. Опустим высоты BK и CN (точки K и N лежат на основании AD), тогда KN=BC=x Пусть AK=y, тогда DN=4-x-x-y=4-2x-y AN=x+y DK=4-x-y Высоты трапеции равны, поэтому 5^2-(4-x-y)^2=3^2-(x+y)^2 Сделаем замену x+y=t 25-(4-t)^2=9-t^2 25-16+8t-t^2=9-t^2 9+8t=9 8t=0 t=0 значит рисунок сделано неверно, и точка К лежит вне трапеции Пусть AK=y, AD=4-x, KN=BC=x, KD=4-x+y=4-(x-y), AN=x-y тогда используя равенство высот 5^2-(4-(x-y))^2=3^2-(x-y)^2 Сделаем замену k=x-y 25-(4-k)^2=9-k^2 25-16+8k-k^2=9-k^2 9+8k=9 8k=0 k=0 а значит x=y значит AN=0 и точки А и N совпдают, и диаональ АС является высотой трапеции Площадь трапеции равна произведению средней линии трапции на ее высоту, поэтому площадь данной трапеции равна EF*AC=2*3=6 ответ: 6