1. Для решения этой задачи нужно использовать метод перебора. Мы ищем наименьшее четырехзначное число, поэтому будем начинать с числа 1000.
a) Возьмем число 1000 и разложим его на простые множители: 2 * 2 * 2 * 5 * 5 * 5 = 2^3 * 5^3
Из этого разложения видно, что в числе 1000 нет цифры 3.
b) Переходим к числу 1001: 1001 = 7 * 11 * 13
В этом разложении также нет цифры 3.
c) Далее идет число 1002. Разложим его: 1002 = 2 * 3 * 167
Тут мы видим одну тройку, но раз произведение цифр должно быть равно 21 (а это 2 * 2 * 2 * 2 * 2 / 3 * 3), то данное число не подходит.
d) Продолжим перебирать числа: 1003 = 17 * 59. Опять же, тройки нет.
e) 1004 = 2 * 2 * 251. И здесь нет 3.
f) 1005 = 5 * 191. Тройки тоже нет.
g) 1006 = 2 * 17 * 59. Снова не то.
h) 1007 = 19 * 53. И тройки нет.
i) Ура! Число 1008 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 7. В этом числе есть три тройки (3 * 3 * 3), а произведение цифр равно 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3 = 21.
Значит, наименьшее четырехзначное число, удовлетворяющее условию, это 1008.
2. Пусть исходная дробь равна x/y.
По условию, если мы возведем числитель в куб и прибавим 3 к знаменателю, то дробь увеличится в 3 раза. Тогда получим следующее уравнение:
(x^3) / (y + 3) = 3 * (x / y)
Для удобства решения, умножим обе части уравнения на (y + 3):
x^3 = 3x(y + 3)
Теперь приведем уравнение к виду, где на одной стороне будет только одно выражение:
x^3 - 3xy - 9x = 0
Факторизуем это уравнение:
x(x^2 - 3y - 9) = 0
Из этого уравнения видно, что либо x = 0, либо (x^2 - 3y - 9) = 0.
Если x = 0, то дробь будет равна 0/y, что не представляет интереса.
Таким образом, остается уравнение:
x^2 - 3y - 9 = 0
Мы должны найти такие целочисленные значения x и y, чтобы это уравнение имело решение. Заметим, что y и x^2 - 3y - 9 должны быть положительными числами, так как мы говорим о дроби.
Используем метод перебора целых чисел.
a) Попробуем x = 1: 1 - 3y - 9 = 0
Это уравнение не имеет решений для целочисленных y.
b) x = 2: 4 - 3y - 9 = 0
Также не имеет решений.
c) x = 3: 9 - 3y - 9 = 0
И снова уравнение не имеет решений.
d) x = 4: 16 - 3y - 9 = 0
Тут мы видим, что при y = 1 уравнение имеет решение.
Таким образом, одним из решений будет x = 4, y = 1. Ответ: 4/1 или 4.
А чтобы получить общее количество комбинаций, мы должны перемножить эти значения:
20 * 1 * 15 * 1 = 300
Таким образом, можно выставить футбольную команду, состоящую из трех нападающих, трех полузащитников, четырех защитников и вратаря, 300 различными способами.
a) Возьмем число 1000 и разложим его на простые множители: 2 * 2 * 2 * 5 * 5 * 5 = 2^3 * 5^3
Из этого разложения видно, что в числе 1000 нет цифры 3.
b) Переходим к числу 1001: 1001 = 7 * 11 * 13
В этом разложении также нет цифры 3.
c) Далее идет число 1002. Разложим его: 1002 = 2 * 3 * 167
Тут мы видим одну тройку, но раз произведение цифр должно быть равно 21 (а это 2 * 2 * 2 * 2 * 2 / 3 * 3), то данное число не подходит.
d) Продолжим перебирать числа: 1003 = 17 * 59. Опять же, тройки нет.
e) 1004 = 2 * 2 * 251. И здесь нет 3.
f) 1005 = 5 * 191. Тройки тоже нет.
g) 1006 = 2 * 17 * 59. Снова не то.
h) 1007 = 19 * 53. И тройки нет.
i) Ура! Число 1008 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 7. В этом числе есть три тройки (3 * 3 * 3), а произведение цифр равно 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3 = 21.
Значит, наименьшее четырехзначное число, удовлетворяющее условию, это 1008.
2. Пусть исходная дробь равна x/y.
По условию, если мы возведем числитель в куб и прибавим 3 к знаменателю, то дробь увеличится в 3 раза. Тогда получим следующее уравнение:
(x^3) / (y + 3) = 3 * (x / y)
Для удобства решения, умножим обе части уравнения на (y + 3):
x^3 = 3x(y + 3)
Теперь приведем уравнение к виду, где на одной стороне будет только одно выражение:
x^3 - 3xy - 9x = 0
Факторизуем это уравнение:
x(x^2 - 3y - 9) = 0
Из этого уравнения видно, что либо x = 0, либо (x^2 - 3y - 9) = 0.
Если x = 0, то дробь будет равна 0/y, что не представляет интереса.
Таким образом, остается уравнение:
x^2 - 3y - 9 = 0
Мы должны найти такие целочисленные значения x и y, чтобы это уравнение имело решение. Заметим, что y и x^2 - 3y - 9 должны быть положительными числами, так как мы говорим о дроби.
Используем метод перебора целых чисел.
a) Попробуем x = 1: 1 - 3y - 9 = 0
Это уравнение не имеет решений для целочисленных y.
b) x = 2: 4 - 3y - 9 = 0
Также не имеет решений.
c) x = 3: 9 - 3y - 9 = 0
И снова уравнение не имеет решений.
d) x = 4: 16 - 3y - 9 = 0
Тут мы видим, что при y = 1 уравнение имеет решение.
Таким образом, одним из решений будет x = 4, y = 1. Ответ: 4/1 или 4.
1. Начнем с выбора нападающих. У нас имеется 6 нападающих, но нам нужно выбрать только 3. Для этого мы можем использовать формулу сочетаний:
C(6, 3) = 6! / (3!(6-3)!) = 6! / (3!3!) = (6 * 5 * 4) / (3 * 2 * 1) = 20
То есть, у нас есть 20 различных комбинаций нападающих.
2. Затем мы переходим к выбору полузащитников. Имеется всего 3 полузащитника, но нам нужно выбрать 3. Поэтому количество комбинаций будет следующим:
C(3, 3) = 3! / (3!(3-3)!) = 3! / (3!0!) = (3 * 2 * 1) / (3 * 2 * 1) = 1
Таким образом, у нас есть только 1 возможная комбинация полузащитников.
3. Затем мы переходим к выбору защитников. Имеется всего 6 защитников, и нам нужно выбрать 4. Воспользуемся формулой сочетаний:
C(6, 4) = 6! / (4!(6-4)!) = 6! / (4!2!) = (6 * 5) / (2 * 1) = 15
Таким образом, у нас есть 15 различных комбинаций защитников.
4. И, наконец, мы должны выбрать вратаря. У нас есть только 1 вратарь, поэтому здесь нет вариантов выбора.
Теперь у нас есть результаты для каждой позиции:
- Нападающие: 20 комбинаций
- Полузащитники: 1 комбинация
- Защитники: 15 комбинаций
- Вратарь: 1 комбинация
А чтобы получить общее количество комбинаций, мы должны перемножить эти значения:
20 * 1 * 15 * 1 = 300
Таким образом, можно выставить футбольную команду, состоящую из трех нападающих, трех полузащитников, четырех защитников и вратаря, 300 различными способами.