Событие Н1 - " линия снабжена сигнализаторами типа Т-1" Событие Н2 - " линия снабжена сигнализаторами типа Т-2" Вероятности равны соответственно: р(Н1)=0,7 р(Н2)=0,3 Событие А - " при отклонении от штатного режима работы сигнализатор сработает" Условная вероятность события А при условии что произойдет событие Н1, то есть при отклонении от штатного режима работы поточной линии срабатывает сигнализатор типа Т-1 равна р(А/Н1)= 0,9. Условная вероятность события А при условии что произойдет событие Н2, то есть при отклонении от штатного режима работы поточной линии срабатывает сигнализатор типа Т-2 равна при р(А/Н2)= 0,8. а) Вероятность того, что при отклонении от штатного режима работы сигнализатор сработает определяется по формуле полной вероятности: р(А) = р(Н1)*р(А/Н1)+р(Н2)*р(А/Н2)=0,7*0,9+0,3*0,8=0,87 б) Сигнализатор сработал. К какому типу он вероятнее всего принадлежит? Для ответа на данный вопрос необходимо рассчитать условную вероятность событий Н1 и Н2 при условии, что событие А произошло. Для этого воспользуемся формулой Байеса: р(Н1/А) = р(Н1)*р(А/Н1)/р(А)=0,7*0,9/0,87=21/29 р(Н2/А) = р(Н2)*р(А/Н2)/р(А)=0,3*0,8/0,87=8/29 Так как 21/29>8/29, то если сигнализатор сработал, то он вероятнее всего принадлежит к типу Т-1
f(x) = (3-x)² / (4*(x - 1)) Область определения функции. Точки, в которых функция точно не определена:x1 = 1 Точки пересечения с осью координат X График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: (3 - x)² = 0 Точки пересечения с осью X:Аналитическое решение x1 =3 Точки пересечения с осью координат Y График пересекает ось Y, когда x равняется 0:подставляем x = 0 в (3 - x)^2/(4*(x - 1)). 2 (3 - 0) -------- 4*(-1) Результат:f(0) = -9/4Точка:(0, -9/4) Экстремумы функции Для того, чтобы найти экстремумы,нужно решить уравнениеd --(f(x)) = 0 dx (производная равна нулю),и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:d --(f(x)) = dx 2 1 (3 - x) ---------*(-6 + 2*x) - ---------- = 0 4*(x - 1) 2 4*(x - 1) Решаем это уравнение Корни этого уравнения x1 = -1 x2 = 3 Значит экстремумы в точках:(-1, -2)(3, 0) Интервалы возрастания и убывания функции:Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:Минимумы функции в точках:x2 = 3 Максимумы функции в точках:x2 = -1 Убывает на промежутках(-oo, -1] U [3, oo)Возрастает на промежутках[-1, 3] Точки перегибов Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение 2 d ---(f(x)) = 0 2 dx (вторая производная равняется нулю),корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции, 2 d ---(f(x)) = 2 dx 2 (-3 + x) 2*(-3 + x) 1 + --------- - ---------- 2 -1 + x (-1 + x) -------------------------- = 0 2*(-1 + x) Решаем это уравнение Решения не найдены-перегибов у функции нет Вертикальные асимптоты Есть:x1 = 1 Горизонтальные асимптоты Горизонтальные асимптоты найдём с пределов данной функции при x->+oo и x->-oo 2 (3 - x) lim --------- = -oo x->-oo4*(x - 1) значит,горизонтальной асимптоты слева не существует 2 (3 - x) lim --------- = oo x->oo4*(x - 1) значит,горизонтальной асимптоты справа не существует Наклонные асимптоты Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (3 - x)^2/(4*(x - 1)), делённой на x при x->+oo и x->-oo 2 1 (3 - x) *--------- 4*(x - 1) lim ------------------ = 1/4 x->-oo x значит,уравнение наклонной асимптоты слева: x y = - 4 2 1 (3 - x) *--------- 4*(x - 1) lim ------------------ = 1/4 x->oo x значит,уравнение наклонной асимптоты справа: x y = - 4 Чётность и нечётность функции Проверим функцию чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).Итак, проверяем: 2 2 (3 - x) (3 + x) ------------ = ------------ 1 1 (4*(x - 1)) (-4 + -4*x) - Нет 2 2 (3 - x) (3 + x) ------------ = - ------------ 1 1 (4*(x - 1)) (-4 + -4*x) - Нет, значит, функция не является ни чётной ни нечётной
Событие Н2 - " линия снабжена сигнализаторами типа Т-2"
Вероятности равны соответственно: р(Н1)=0,7 р(Н2)=0,3
Событие А - " при отклонении от штатного режима работы сигнализатор сработает"
Условная вероятность события А при условии что произойдет событие Н1, то есть при отклонении от штатного режима работы поточной линии срабатывает сигнализатор типа Т-1 равна р(А/Н1)= 0,9.
Условная вероятность события А при условии что произойдет событие Н2, то есть при отклонении от штатного режима работы поточной линии срабатывает сигнализатор типа Т-2 равна при р(А/Н2)= 0,8.
а) Вероятность того, что при отклонении от штатного режима работы сигнализатор сработает определяется по формуле полной вероятности:
р(А) = р(Н1)*р(А/Н1)+р(Н2)*р(А/Н2)=0,7*0,9+0,3*0,8=0,87
б) Сигнализатор сработал. К какому типу он вероятнее всего принадлежит? Для ответа на данный вопрос необходимо рассчитать условную вероятность событий Н1 и Н2 при условии, что событие А произошло.
Для этого воспользуемся формулой Байеса:
р(Н1/А) = р(Н1)*р(А/Н1)/р(А)=0,7*0,9/0,87=21/29
р(Н2/А) = р(Н2)*р(А/Н2)/р(А)=0,3*0,8/0,87=8/29
Так как 21/29>8/29, то если сигнализатор сработал, то он вероятнее всего принадлежит к типу Т-1
Область определения функции. Точки, в которых функция точно не определена:x1 = 1
Точки пересечения с осью координат X График функции пересекает ось X при f = 0 значит надо решить уравнение: (3 - x)² = 0
Точки пересечения с осью X:Аналитическое решение x1 =3
Точки пересечения с осью координат Y График пересекает ось Y, когда x равняется 0:подставляем x = 0 в (3 - x)^2/(4*(x - 1)). 2 (3 - 0) -------- 4*(-1) Результат:f(0) = -9/4Точка:(0, -9/4)
Экстремумы функции Для того, чтобы найти экстремумы,нужно решить уравнениеd --(f(x)) = 0 dx (производная равна нулю),и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:d --(f(x)) = dx 2 1 (3 - x) ---------*(-6 + 2*x) - ---------- = 0 4*(x - 1) 2 4*(x - 1) Решаем это уравнение Корни этого уравнения x1 = -1 x2 = 3 Значит экстремумы в точках:(-1, -2)(3, 0)
Интервалы возрастания и убывания функции:Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:Минимумы функции в точках:x2 = 3 Максимумы функции в точках:x2 = -1 Убывает на промежутках(-oo, -1] U [3, oo)Возрастает на промежутках[-1, 3]
Точки перегибов Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение 2 d ---(f(x)) = 0 2 dx (вторая производная равняется нулю),корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции, 2 d ---(f(x)) = 2 dx 2 (-3 + x) 2*(-3 + x) 1 + --------- - ---------- 2 -1 + x (-1 + x) -------------------------- = 0 2*(-1 + x) Решаем это уравнение Решения не найдены-перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты Есть:x1 = 1 Горизонтальные асимптоты Горизонтальные асимптоты найдём с пределов данной функции при x->+oo и x->-oo 2 (3 - x) lim --------- = -oo x->-oo4*(x - 1) значит,горизонтальной асимптоты слева не существует 2 (3 - x) lim --------- = oo x->oo4*(x - 1) значит,горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (3 - x)^2/(4*(x - 1)), делённой на x при x->+oo и x->-oo 2 1 (3 - x) *--------- 4*(x - 1) lim ------------------ = 1/4 x->-oo x значит,уравнение наклонной асимптоты слева: x y = - 4 2 1 (3 - x) *--------- 4*(x - 1) lim ------------------ = 1/4 x->oo x значит,уравнение наклонной асимптоты справа: x y = - 4
Чётность и нечётность функции Проверим функцию чётна или нечётна с соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).Итак, проверяем: 2 2 (3 - x) (3 + x) ------------ = ------------ 1 1 (4*(x - 1)) (-4 + -4*x) - Нет 2 2 (3 - x) (3 + x) ------------ = - ------------ 1 1 (4*(x - 1)) (-4 + -4*x) - Нет, значит, функция не является ни чётной ни нечётной