xy-3y-x^2-5x+20=0 y(x-3)-(x^2+5x-24)-24+20=0 y(x-3)-(x-3)(x+8)=4 (x-3)(y-x-8)=4. Поскольку x и y - целые, то и каждая пара скобок будет содержать внутри себя выражение с целым результатом. Это значит, то значения скобок можно перебирать среди делителей числа 4. 1) x-3=4, y-x-8=1
ответ: z=f₁(y+x²)+f₂(y-x²), где f₁ и f₂ - произвольные функции.
Пошаговое объяснение:
Будем решать уравнение методом характеристик. Характеристическое уравнение для данного уравнения имеет вид dy²-4*x²*dx²=(dy+2*x*dx)*(dy-2*x*dx)=0. Отсюда либо dy+2*x*dx=0, либо dy-2*x*dx=0. Интегрируя первое уравнение, получаем y+x²=u, интегрируя второе уравнение, получаем y-x²=v. Теперь в исходном уравнении нужно перейти от переменных x и y к переменным u и v.
(Далее, за неимением возможности писать выражения для частных производных через "круглые" d, пишу эти выражения через "прямые" d).
Подставляя теперь найденные (выделенные жирным цветом) выражения для dz/dx, d²z/dx² и d²z/dy² в исходное уравнение и сокращая подобные члены, приходим к уравнению -16*x²*d²z/dudv=0, или d²z/dudv=0. Интегрируя его по v, находим dz/du=f(u). Интегрируя теперь по u, находим z=∫f(u)*du+f₂(v)=f₁(u)+f₂(v). Возвращаясь теперь к переменным x и y, получаем z=f₁(y+x²)+f₂(y-x²), где f₁ и f₂ - произвольные функции.
y(x-3)-(x^2+5x-24)-24+20=0
y(x-3)-(x-3)(x+8)=4
(x-3)(y-x-8)=4.
Поскольку x и y - целые, то и каждая пара скобок будет содержать внутри себя выражение с целым результатом. Это значит, то значения скобок можно перебирать среди делителей числа 4.
1) x-3=4,
y-x-8=1
x=7,
y=x+8+1=x+9=7+9=16
2) x-3=2,
y-x-8=2
x=5,
y=x+10=5+10=15
3) x-3=1,
y-x-8=4
x=4,
y=x+12=4+12=16
4) x-3=-1,
y-x-8=-4
x=2,
y=x+4=2+4=6
5) x-3=-2,
y-x-8=-2
x=1,
y=x+6=1+6=7
6) x-3=-4,
y-x-8=-1
x=-1,
y=x+7=-1+7=6.
ответ: (-1;6), (1;7), (2;6), (4;16), (5;15), (7;16).
ответ: z=f₁(y+x²)+f₂(y-x²), где f₁ и f₂ - произвольные функции.
Пошаговое объяснение:
Будем решать уравнение методом характеристик. Характеристическое уравнение для данного уравнения имеет вид dy²-4*x²*dx²=(dy+2*x*dx)*(dy-2*x*dx)=0. Отсюда либо dy+2*x*dx=0, либо dy-2*x*dx=0. Интегрируя первое уравнение, получаем y+x²=u, интегрируя второе уравнение, получаем y-x²=v. Теперь в исходном уравнении нужно перейти от переменных x и y к переменным u и v.
(Далее, за неимением возможности писать выражения для частных производных через "круглые" d, пишу эти выражения через "прямые" d).
dz/dx=dz/du*du/dx+dz/dv*dv/dx=2*x*dz/du-2*x*dz/dv; (1)
d²z/dx²=2*dz/du+2*x*d²z/du²+2*x*d²z/dudv*dv/dx-2*dv/dz-2*x*d²z/dvdu*du/dx-2*d²z/dv²*dv/dx=2*dz/du-2*dz/dv+4*x²*d²z/du²+4*x²*d²z/dv²-8*x²*d²z/dudv; (2)
dz/dy=dz/du*du/dy+dz/dv*dv/dy=dz/du+dz/dv;
d²z/dy²=d²u/dz²*du/dy+d²z/dydv*dv/dy+d²z/dvdu*du/dy+d²z/dv²*dv/dy=d²z/du²+2*d²z/dudv+d²z/dv² (3)
Подставляя теперь найденные (выделенные жирным цветом) выражения для dz/dx, d²z/dx² и d²z/dy² в исходное уравнение и сокращая подобные члены, приходим к уравнению -16*x²*d²z/dudv=0, или d²z/dudv=0. Интегрируя его по v, находим dz/du=f(u). Интегрируя теперь по u, находим z=∫f(u)*du+f₂(v)=f₁(u)+f₂(v). Возвращаясь теперь к переменным x и y, получаем z=f₁(y+x²)+f₂(y-x²), где f₁ и f₂ - произвольные функции.