Два друга Костя и Миша задумались о том, как рассчитать площадь поверх ности зонта.
На первый взгляд зонт кажется
круглым, а его купол напоминает часть сферы (сферический
сегмент). Но если присмотреться, то видно, что купол зонта
состоит из двенадцати отдельных клиньев, натянутых на каркас из двенадцати спиц (рис. 1).
Рис. 1
Сферическая форма в раскрытом состоянии достигается за счёт гибкости спиц
и эластичности ткани, из которой изготовлен зонт.
Костя и Миша сумели измерить расстояние между концами соседних спиц а. Оно
оказалось равно 26 см. Высота купола
зонта h (рис. 2) оказалась равна 28 см, а
расстояние d между концами спиц, образующих дугу окружности, проходящей через вершину зонта, – ровно 112 см.
Рис. 2
1. Длина зонта в сложенном виде равна
26 см и складывается из длины ручки
(рис. 3) и трети длины спицы (зонт в три
сложения). Найдите длину спицы, если
длина ручки зонта равна 6,1 см.
ответ: .
Ручка
зонта
Рис. 3
2. Поскольку зонт сшит из треугольников, рассуждал Кося, площадь его
поверхности можно найти как сумму площадей треугольников. Вычислите
площадь поверхности зонта методом Кости, если высота каждого равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, равна 58,3 см. ответ
дайте в квадратных сантиметрах с округлением до десятков.
ответ: .
3. Миша предположил, что купол зонта имеет форму сферического сегмента. Вычислите радиус R сферы купола, зная, что
OC=R
(рис. 2). ответ
дайте в сантиметрах.
ответ: .
4. Миша нашёл площадь купола зонта как площадь поверхности сферического сегмента по формуле
S=2 R h
, где R – радиус сферы, а h – высота
сегмента. Рассчитайте площадь поверхности купола Миши.
Число
округлите до 3,14. ответ дайте в квадратных сантиметрах с
округлением до целого.
ответ: .
5. Рулон ткани имеет длину 25 м и ширину 120 см. На фабрике из этого
рулона были вырезаны треугольные клинья для 25 зонтов, таких же, как
зонт, который был у Кости и Миши. Каждый треугольник с учётом припуска
на швы имеет площадь 810 кв. см. Оставшаяся ткань пошла в обрезки.
Сколько процентов ткани рулона пошло в обрезки?
ответ:
Но теперь рассмотрим внимательнее функцию f2(m). Запишем ее от другого аргумента. Это будет уже другая функция g(n)=arctg(n), причем n является функцией от m. n(m)=3m^2+12m+11. Теперь уже на область определения функции g(n) накладываются новые ограничения, поскольку областью определения функции g(n) является область значений функции n(m).
n(m) - парабола с ветвями вверх, ее минимальное значение достигается при m=-12/(2*3)=-2. n(-2)=-1. Сверху ограничений на функцию n(m) нет.
Функции f1(m) и g(n) похожи. Разница лишь в их области определения. Это влечет изменение области значений. Если у f1(m) нижней границей была асимптота -π/2, то у g(n) наименьшим значением является g(-1)=-π/4. Верхняя же граница у обоих функций совпадает. Таким образом, областью значений функции g(n)=arctg(n), где n(m)=3m^2+12m+11, является полуинтервал [-π/4;π/2).
Вернемся к исходному неравенству.
1) Если x=0, то левая часть неравенства обращается в 0, и неравенство не справедливо ни при каких m.
2) x∈[-3;0)
Можно разделить обе части на 4x, при этом сменив знак неравенства.
π/4*(x+1)-arctg(3m^2+12m+11)<0
arctg(3m^2+12m+11)>π/4*(x+1)
Слева находится функция арктангенса, ограниченная областью значений [-π/4;π/2). Справа находится горизонтальная прямая. Требуется, чтобы функция арктангенса была полностью выше этой прямой. Очевидно, что π/4*(x+1) должно быть строго меньше наименьшего значения функции арктангенса.
π/4*(x+1)<-π/4
x+1<-1
x<-2
Ввиду ограничений для этого пункта, x∈[-3;-2)
3) x∈(0;1]
Здесь разделим исходное неравенство на 4x уже без смены знака.
π/4*(x+1)-arctg(3m^2+12m+11)>0
arctg(3m^2+12m+11)<π/4*(x+1)
Так как π/2 является верхней границей арктангенса, которая никогда не достигается, то справедливо неравенство:
arctg(3m^2+12m+11)<π/2≤π/4*(x+1)
Отсюда π/2≤π/4*(x+1),
2≤x+1
x≥1
С учетом ограничений для этого пункта, x=1.
Таким образом, x∈[-3;2)∪{1}
1. x>0
В случае, когда х>0 выражение будет принимать значение от 0 до 1.(оба не включаются в равенство)
2. х<0
В случае, когда x<0 выражение принимает значение от -бесконечности до 0(не включительно).
Например х=-3; -(1/2)^-3+1=-8+1=-7
3. x=0
В случае, когда показатель степени равно нулю, любое значение равно 1, т.е. -1+1=0.
Основываясь на этих фактах, функция принимает значения от (-бесконечности; 1).
п.с. функция значение 1 не принимает, так как выражение -(1/2)^x ни при каком x не будет равно 0.