Два пункта А и В расположены между дорогами а и b (рисунок 102). Где на этих дорогах должны быть пункты М и N (M€a, N€b), чтобы путь AMNB был кратчайшим?
Х и у стороны прямоугольника Из условия задачи известна что : 1) ( х + у) * 2 = 30 или х + у = 15 х = 15 - у ; также известно что : х * у = 36 . Подставим значение х из первого уравнения . Получим : (15 - у) * у = 36 15у - у^2 = 36 y^2 - 15y + 36 = 0 Найдем дискриминант уравнения D . D = (- 15)^2 - 4 * 1 * 36 = 225 - 144 = 81 . sqrt (D) = sqrt (81) = 9 Найдем квадратные корни уравнения : 1-ый = (-(-15) + 9) /2*1 = (15 + 9)/2 = 12 ; 2-ой - (-(-15) - 9) /2*1 = (15 - 9) /2 = 3 Одно из сторон прямоугольника равна : 12 см или 3 см а другая исходя из уравнения х = 15 - у будет равна : 3 см или 12 см
Тема 1. Введение. Приближенные числа и действия над ними. Оценка точности вычислений
1.4. Погрешности приближенных вычислений
Понятие о погрешности приближения
Естественно, что приближенное и точное число всегда отличаются друг от друга. Иначе говоря, при приближении возникает некоторая погрешность приближения. Причем, в математике различают относительную и абсолютную погрешность.
Определение
Абсолютной погрешностью (или, просто, погрешностью) приближенного числа называют разность между этим числом и его точным значением (при этом из большего числа вычитается меньшее) .
Пример
При округлении числа 1284 до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300-1284=16. А при округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1280-1284 = 4.
Определение
Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому (точному) числу.
Пример
При округлении числа 197 до 200 абсолютная погрешность составляет 200-197 = 3. Относительная погрешность равна 3/197 ≈ 0,01523 или приближенно 3/200 ≈ 1,5%.
В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.
Например, продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая – 50 г. Взвешивание дало 3600 г. Это число – приближенное. Точный вес арбуза неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г. Относительная погрешность не превышает 50/3600 ≈ 1,4%.
Определение
Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей) , называется предельной абсолютной погрешностью.
Определение
Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей) называется предельной относительной погрешностью.
Предельная абсолютная погрешность обозначается греческой буквой Δ – "дельта". А предельная относительная погрешность – греческой буквой δ ("дельта малая"). Если приближенное число обозначить буквой α, то δ = Δ/ α.
В примере с арбузом за предельную абсолютную погрешность можно взять Δ = 50г, а за предельную относительную – δ = 1,4%.
Погрешность действий над приближенными числами
Предельная абсолютная погрешность суммы (разности) не превышает суммы предельных абсолютных погрешностей отдельных слагаемых.
Пример 1
Пусть даны точные числа и их приближенные значения: 2,463 ≈ 2,46 и 3,208 ≈ 3,21.
Их абсолютные погрешности приближений соответственно равны: 2,463-2,46 = 0,003 и 3,21-3,208 = 0,002.
Рассмотрим сумму приближенных чисел – 2,46+3,21 = 5,67.
Предельная погрешность суммы равна 0,003+0,002 = 0,005.
Если проверить, то получится, что точная сумма будет 2,463+3,208 = 5,671.
Следовательно, точно вычисленная погрешность приближения будет: 5,671-5,67 = 0,001. Действительно 0,001 ≤ 0,005.
Предельная относительная погрешность произведения приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей.
Пример 2
Пусть перемножаются приближенные числа 50 и 20 и пусть предельная относительная погрешность первого сомножителя равна 0,4%, а второго 0,5%. тогда предельная относительная погрешность произведения 50*20 = 1000 приближенно равна 0,9%.
Предельная относительная погрешность частного приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя.
Таким образом, легко заметить, что при приближенных вычислениях погрешность может накапливаться!
Из условия задачи известна что : 1) ( х + у) * 2 = 30 или х + у = 15
х = 15 - у ; также известно что : х * у = 36 . Подставим значение х из первого уравнения . Получим : (15 - у) * у = 36 15у - у^2 = 36
y^2 - 15y + 36 = 0 Найдем дискриминант уравнения D .
D = (- 15)^2 - 4 * 1 * 36 = 225 - 144 = 81 . sqrt (D) = sqrt (81) = 9
Найдем квадратные корни уравнения : 1-ый = (-(-15) + 9) /2*1 = (15 + 9)/2 = 12 ; 2-ой - (-(-15) - 9) /2*1 = (15 - 9) /2 = 3
Одно из сторон прямоугольника равна : 12 см или 3 см а другая исходя из уравнения х = 15 - у будет равна : 3 см или 12 см
ответ:1.4. Погрешности приближенных вычислений
Тема 1. Введение. Приближенные числа и действия над ними. Оценка точности вычислений
1.4. Погрешности приближенных вычислений
Понятие о погрешности приближения
Естественно, что приближенное и точное число всегда отличаются друг от друга. Иначе говоря, при приближении возникает некоторая погрешность приближения. Причем, в математике различают относительную и абсолютную погрешность.
Определение
Абсолютной погрешностью (или, просто, погрешностью) приближенного числа называют разность между этим числом и его точным значением (при этом из большего числа вычитается меньшее) .
Пример
При округлении числа 1284 до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300-1284=16. А при округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1280-1284 = 4.
Определение
Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому (точному) числу.
Пример
При округлении числа 197 до 200 абсолютная погрешность составляет 200-197 = 3. Относительная погрешность равна 3/197 ≈ 0,01523 или приближенно 3/200 ≈ 1,5%.
В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.
Например, продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая – 50 г. Взвешивание дало 3600 г. Это число – приближенное. Точный вес арбуза неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г. Относительная погрешность не превышает 50/3600 ≈ 1,4%.
Определение
Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей) , называется предельной абсолютной погрешностью.
Определение
Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей) называется предельной относительной погрешностью.
Предельная абсолютная погрешность обозначается греческой буквой Δ – "дельта". А предельная относительная погрешность – греческой буквой δ ("дельта малая"). Если приближенное число обозначить буквой α, то δ = Δ/ α.
В примере с арбузом за предельную абсолютную погрешность можно взять Δ = 50г, а за предельную относительную – δ = 1,4%.
Погрешность действий над приближенными числами
Предельная абсолютная погрешность суммы (разности) не превышает суммы предельных абсолютных погрешностей отдельных слагаемых.
Пример 1
Пусть даны точные числа и их приближенные значения: 2,463 ≈ 2,46 и 3,208 ≈ 3,21.
Их абсолютные погрешности приближений соответственно равны: 2,463-2,46 = 0,003 и 3,21-3,208 = 0,002.
Рассмотрим сумму приближенных чисел – 2,46+3,21 = 5,67.
Предельная погрешность суммы равна 0,003+0,002 = 0,005.
Если проверить, то получится, что точная сумма будет 2,463+3,208 = 5,671.
Следовательно, точно вычисленная погрешность приближения будет: 5,671-5,67 = 0,001. Действительно 0,001 ≤ 0,005.
Предельная относительная погрешность произведения приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей.
Пример 2
Пусть перемножаются приближенные числа 50 и 20 и пусть предельная относительная погрешность первого сомножителя равна 0,4%, а второго 0,5%. тогда предельная относительная погрешность произведения 50*20 = 1000 приближенно равна 0,9%.
Предельная относительная погрешность частного приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя.
Таким образом, легко заметить, что при приближенных вычислениях погрешность может накапливаться!
Пошаговое объяснение: