Две машины скорой выезжают навстречу одновременно: одна едет из больницы к месту происшествия, а другая – с места происшествия до больницы. В первую минуту каждая машина проезжает путь длиной 1 км. В каждую следующую минуту первая машина проезжает путь на 16 км, а вторая - на 112 км длиннее, чем за предыдущую минуту. Определите, через сколько минут машины встретятся и какова скорость (в км/ч) машин в момент встречи, если известно, что расстояние от больницы до места происшествия 23 км.

Быстрый ответ:

Машины встретятся через 8 минут,

Скорость первой машины будет

130 км/час

Скорость второй машины будет 95 км/час

ответ с объяснением:

Пути машин выразим арифметической прогрессией;

Путь машин за 1-ую минуту a1 = 1;

Разность прогрессии для первой машины d1 = 1/6;

Разность прогрессии для второй машины d2 = 1/12;

Расстояние от больницы до места происшествия S = 23 км;

1. Суммы арифметических прогрессий равны:

2 x a1 + (n - 1) x d1

S1 = x n;

2

2 x a1 + (n - 1) x d2

S2 = x n;

2

2. Когда машины встретятся, то:

S = S1 + S2 = 23 км;

2 x a1 + (n - 1) x d1 2 x a1 + (n - 1) x d2

x n + x n = 23;

2 2

4 x a1 + (n - 1) x (d1 + d2) - 2 x 23/n = 0;

Подставляем значения a1, d1, d2:

4 + (n - 1) x (1/6 + 1/12) - 46 / n = 0;

4 + (n - 1) x 1/4 - 46 / n = 0;

16n + (n - 1)n - 184 = 0;

16n + n^2 - n - 184 = 0;

n^2 + 15n - 184 = 0;

Находим дискриминант и выходит:

n1 = 8;

n2 = -23 - не удовлетворяет условиям задачи;

n = 8; - значит машины встретятся на через 8 минут;

3. Скорости машин через 8 минут будут равны величине восьмых членов арифметических прогрессий в минуту:

Для первой машины:

V1 = a1 + d1 x (n - 1) = 1 + 1/6 x 7 = 1 7/6 км/мин = 130 км/час;

Для первой машины:

V2 = a1 + d2 x (n - 1) = 1 + 1/12 x 7 = 1 7/12 км/мин = 95 км/час;

ответ: Машины встретятся через 8 минут,

скорость первой машины будет

130 км/час

скорость второй машины будет 95 км/час