Две прямые железные дороги A1A2 и B1B2, перпендикулярны друг другу и пересекаются в точке C, причем расстояние A1C и B1C равны соответственно 120 км и 140 км. Из пунктов A1 и B1 одновременно выходят поезда по направлению к C два поезда, скорости которых 80 км/ч и 60 км/ч соответственно. Через какое время после отправления расстояние между поездами будет наименьшим? Найдите это расстояние. Решите с производной.
I. доказываем монотонный прирост и ограниченность
II. находим предел последовательности
Часть I:
монотонность доказываем по индукции:
Проверка:
Предполагаем справедливость неравенства для любого
Доказываем для
Монотонный прирост доказан.
Ограниченность сверху:
Условие выполняется для
(
(*) Последовательность монотонна и ограниченна, следовательно сходится к супремуму.
Часть II.
Определим
Подставялем в рекурсию и получаем:
Из монотонности и
Получаем:
(**) Как я "угадал" верхний предел для доказательства ограниченности в первой части?
- Сначала решил часть II, и выбрал подходящее значение.
Важно помнить: без части I, часть II не имеет сысла!! Потому доказательство нужно предоставлять именно в таком порядке и в полном объёме.