Находим подозрительные на экстремум точки. По необходимому условию экстремума, приравниваем первые частные производные нулю, решаем систему линейных алгебраических уравнений: Из достаточного условия экстремума следует, что если дифф. квадратичная форма положительна, то точка является точкой минимума, если отрицательна - максимума. Составим матрицу H из вторых частных производных заданной функции и вычислим её в стационарной точке (в данном случае элементы H - константы): Для определения знака квадратичной формы можно воспользоваться критерием Сильвестра: если все угловые миноры матрицы положительны, то квадратичная форма положительна, если у угловых миноров чередуется знак (причём первый отрицательный), то квадратичная форма отрицательна. Первый элемент >0, определитель матрицы H >0, следовательно стационарная точка x=1/3, y=1/2 является локальным минимумом. На изображениях представлены линии уровня и график заданной функции с точкой минимума.
Ясно, что при x=61 дробь (x+73)/(x-61) не определена. При x=-73 дробь равна нулю. Дробь больше нуля, если числитель и знаменатель одного знака. Такое возможно, если x+73>0, x-61>0, либо x+73<0, x-61<0. В первом случае x>-73, x>61, то есть, x>61 (значения переменной, когда выполняются оба неравенства). Во втором случае x<-73, x>61, то есть, x<-73. Таким образом, при x<-73 неравенство не выполняется (значение дроби положительно), при x=-73 неравенство также не выполняется (значение дроби равно 0). Следовательно, наименьшее целое решение неравенства – x=-72. Действительно, в этом случае (-72+73)/(-72-61)=1/(-133)=-1/133<0.
Находим подозрительные на экстремум точки. По необходимому условию экстремума, приравниваем первые частные производные нулю, решаем систему линейных алгебраических уравнений:
Из достаточного условия экстремума следует, что если дифф. квадратичная форма положительна, то точка является точкой минимума, если отрицательна - максимума. Составим матрицу H из вторых частных производных заданной функции и вычислим её в стационарной точке (в данном случае элементы H - константы):
Для определения знака квадратичной формы можно воспользоваться критерием Сильвестра: если все угловые миноры матрицы положительны, то квадратичная форма положительна, если у угловых миноров чередуется знак (причём первый отрицательный), то квадратичная форма отрицательна.
Первый элемент >0, определитель матрицы H >0, следовательно стационарная точка x=1/3, y=1/2 является локальным минимумом.
На изображениях представлены линии уровня и график заданной функции с точкой минимума.
ответ: x=-72.