Логарифмом числа b по основаниюa называется показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получилось число b.Обозначение: loga b.Читаем: "логарифм от b по основанию a".
Нахождение логарифма равносильно решению показательного уравнения:
Показательное уравнение:ax=b, при условии a>0; a≠1; b>0, где x — показатель степени,a — основа степени,b — степень числа a. Логарифмическое уравнение: loga b=x,при условииa>0; a≠1; b>0,гдеx — логарифм числа bпо основанию a,a — основа логарифма,b — число, которое стоитпод знаком логарифма. Примеры:25=32 ⇔ 5= log2 32;34=81 ⇔ 4= log3 81;log1/5 125=-3 ⇔⇔ (1/5)-3=125;log2 (1/16)=-4 ⇔⇔ 2-4=1/16; Основное логарифмическое тождество:a loga b = b,при условии a>0; a≠1; b>0.3log3 7 = 7,3 -log3 7 = 1/3 log3 7=1/7,4 log2 7 = 2 2log2 7=(2 log2 7)2=72,2 1+log2 7 =2·2 log2 7= 2·7=14,
Десятичным логарифмом числа b называется логарифм числа b по основанию 10 .Обозначение: lg b =log10 b . Свойство: 10lg b =b .Примеры:lg 10 =log10 10=1;lg 100 =log10 100= log10 102=2 log10 10=2·1=2;lg 1000 =log10 1000= log10 103=3 log10 10=3·1=3; lg 0,1 =log10 0,1= log10 10-1=-1 log10 10=-1; lg 0,01 =log10 0,01= log10 10-2=-2 log10 10=-2·1=-2; lg 0,001 =log10 0,001= log10 10-3=-3 log10 10=-3·1=-3. Свойства логарифмов logb b =1 , b>0, b≠1, поскольку b1=b.Логарифм числа по том же положительном ( b>0 ) отличным от нуля основании ( b≠1 ) равен единицы 1.Примеры:log10 10 =1;log1/3 1/3 =1; log7 x=1, отсюда x=7; loga 1 =0 , a>0, a≠1, поскольку a0=1. Логарифм единицы 1 по любому положительному ( a>0 ) отличныму от нуля ( a≠1 ) основанию равен нулю 0. Примеры:log19 1 =0;log6 x =0, отсюда x=1; loga(bc)= loga b + loga c , b>0, c>0,a>0,a≠1, — логарифм произведения.Логарифм произведения равен сумме логарифмов. Примеры:lg 18 =lg (6·3)= lg 6 + lg 3;lg 50 + lg 2 =lg (50·2) =lg 100=2; loga(b/c)= loga b — loga c , b>0, c>0,a>0,a≠1, — логарифм дроби (частного).Логарифм частного равен разности логарифмов числителя и знаменателя.Примеры:log4 4/7 =log4 4 – log4 7 ==1 – log4 7;log3 5 – log3 5/27 ==log3 (5: 5/27) = log3 27 = 3; logabn= n· loga b, b>0,a>0,a≠1, — логарифм степени, logab1/n= 1/n· loga b, b>0,a>0,a≠1. Логарифм степени равен произвидению показателя и логарифма основания.Примеры:log4 64 = log4 43 = 3· log4 4 = 3·1 = 3 ;lg 16 = lg 24 = 4· lg 2 ; lg √343 = lg √73 = lg 73/2 = 3/2· lg 7 ;11· lg x = lg x11; logamb =1/m · loga b, b>0,a>0,a≠1, logambn=n/m · loga b, b>0,a>0,a≠1, Примеры:log252= log522= 1/2· log 5 2;log√77= log71/27= 1/(1/2)· log7 7= 2· log7 7= 2·1=2;log31/233/2= (3/2)/(1/2)· log3 3= 3· log3 3= 3·1=3; loga b =1/ logb a; loga b = logc b / logc a; — переход к новому основаниюПримеры:log611 · log116= log611 · 1/ log611= 1;log73 · log35= log73· (log75/ log73)= log75; — переход к новому основанию
Логарифмированием называется нахождение логарифмов заданных чисел или выражений
Нахождение логарифма равносильно решению показательного уравнения:
Показательное уравнение:ax=b, при условии a>0; a≠1; b>0, где x — показатель степени,a — основа степени,b — степень числа a. Логарифмическое уравнение: loga b=x,при условииa>0; a≠1; b>0,гдеx — логарифм числа bпо основанию a,a — основа логарифма,b — число, которое стоитпод знаком логарифма. Примеры:25=32 ⇔ 5= log2 32;34=81 ⇔ 4= log3 81;log1/5 125=-3 ⇔⇔ (1/5)-3=125;log2 (1/16)=-4 ⇔⇔ 2-4=1/16; Основное логарифмическое тождество:a loga b = b,при условии a>0; a≠1; b>0.3log3 7 = 7,3 -log3 7 = 1/3 log3 7=1/7,4 log2 7 = 2 2log2 7=(2 log2 7)2=72,2 1+log2 7 =2·2 log2 7= 2·7=14,
Десятичным логарифмом числа b называется логарифм числа b по основанию 10 .Обозначение: lg b =log10 b . Свойство: 10lg b =b .Примеры:lg 10 =log10 10=1;lg 100 =log10 100= log10 102=2 log10 10=2·1=2;lg 1000 =log10 1000= log10 103=3 log10 10=3·1=3;lg 0,1 =log10 0,1= log10 10-1=-1 log10 10=-1;
lg 0,01 =log10 0,01= log10 10-2=-2 log10 10=-2·1=-2;
lg 0,001 =log10 0,001= log10 10-3=-3 log10 10=-3·1=-3. Свойства логарифмов logb b =1 , b>0, b≠1, поскольку b1=b.Логарифм числа по том же положительном ( b>0 ) отличным от нуля основании ( b≠1 ) равен единицы 1.Примеры:log10 10 =1;log1/3 1/3 =1;
log7 x=1, отсюда x=7;
loga 1 =0 , a>0, a≠1, поскольку a0=1.
Логарифм единицы 1 по любому положительному ( a>0 ) отличныму от нуля ( a≠1 ) основанию равен нулю 0.
Примеры:log19 1 =0;log6 x =0, отсюда x=1;
loga(bc)= loga b + loga c , b>0, c>0,a>0,a≠1, — логарифм произведения.Логарифм произведения равен сумме логарифмов.
Примеры:lg 18 =lg (6·3)= lg 6 + lg 3;lg 50 + lg 2 =lg (50·2) =lg 100=2;
loga(b/c)= loga b — loga c , b>0, c>0,a>0,a≠1, — логарифм дроби (частного).Логарифм частного равен разности логарифмов числителя и знаменателя.Примеры:log4 4/7 =log4 4 – log4 7 ==1 – log4 7;log3 5 – log3 5/27 ==log3 (5: 5/27) = log3 27 = 3; logabn= n· loga b, b>0,a>0,a≠1, — логарифм степени, logab1/n= 1/n· loga b, b>0,a>0,a≠1.
Логарифм степени равен произвидению показателя и логарифма основания.Примеры:log4 64 = log4 43 = 3· log4 4 = 3·1 = 3 ;lg 16 = lg 24 = 4· lg 2 ;
lg √343 = lg √73 = lg 73/2 = 3/2· lg 7 ;11· lg x = lg x11;
logamb =1/m · loga b, b>0,a>0,a≠1,
logambn=n/m · loga b, b>0,a>0,a≠1,
Примеры:log252= log522= 1/2· log 5 2;log√77= log71/27= 1/(1/2)· log7 7= 2· log7 7= 2·1=2;log31/233/2= (3/2)/(1/2)· log3 3= 3· log3 3= 3·1=3; loga b =1/ logb a;
loga b = logc b / logc a; — переход к новому основаниюПримеры:log611 · log116= log611 · 1/ log611= 1;log73 · log35= log73· (log75/ log73)= log75; — переход к новому основанию
Логарифмированием называется нахождение логарифмов заданных чисел или выражений
Логарифмирование Прологарифмировать выражения по произвольному основанию a .Используем правило: логарифм произведения.1) x= 3abc;logax= loga3+ logaa+ logab+ logac.Используем правила: логарифм произведения, логарифм частного (дроби).2) x= ab/4;logax= logaa+ logab- logac.Используем правила: логарифм произведения, логарифм степени.3) x= 2m8n6;logax= loga2+ 8logam+ 6logan.