Есть ли отличие в свойствах криволинейного интеграла первого рода и свойствах определённого интеграла, если есть, то в чём оно заключается? 1.в случае криволинейного интеграла первого рода нельзя выносить множитель за знак интеграла
2.отличий нет
3.в случае криволинейного интеграла первого рода не имеет значения, какую из точек кривой считать началом отрезка, а какую - концом
4.криволинейный интеграл первого рода можно вычислять в цилиндрических координатах

Одним из наиболее популярных в учебной литературе доказательств алгебраической формулировки является доказательство с использованием техники подобия треугольников, при этом оно почти непосредственно выводится из аксиом и не задействует понятие площади фигуры. В нём для треугольника {\displaystyle \triangle ABC} с прямым углом при вершине {\displaystyle C} со сторонами {\displaystyle a,b,c}, противолежащими вершинам {\displaystyle A,B,C}соответственно, проводится высота {\displaystyle CH}, при этом (согласно признаку подобия по равенству двух углов) возникают соотношения подобия: {\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle ACH} и {\displaystyle \triangle ABC\sim \triangle CBH}, из чего непосредственно следуют соотношения:

{\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {|HB|}{a}}}; {\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {|AH|}{b}}}.

При перемножении крайних членовпропорций выводятся равенства:

{\displaystyle a^{2}=c\cdot |HB|}; {\displaystyle b^{2}=c\cdot |AH|},

покомпонентное сложение которых даёт требуемый результат:

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c\cdot \left(|HB|+|AH|\right)=c^{2}\,\Leftrightarrow \,a^{2}+b^{2}=c^{2}}.

Доказательство теоремы Пифагора

Пусть треугольник ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C (рис. 2).

Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание высоты обозначим как H .

Прямоугольный треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам ( ∠ACB=∠CHA=90∘, ∠A - общий). Аналогично, треугольник CBH подобен ABC .

Введя обозначения

BC=a,AC=b,AB=c

из подобия треугольников получаем, что

ac=HBa,bc=AHb

Отсюда имеем, что

a2=c⋅HB,b2=c⋅AH

Сложив полученные равенства, получаем

a2+b2=c⋅HB+c⋅AH

a2+b2=c⋅(HB+AH)

a2+b2=c⋅AB

a2+b2=c⋅c

a2+b2=c2

Что и требовалось доказать.