Есть ли связь между церковным значением слова "пост" и воинским значением.

Нет. Воинское значение пост это помещение где они живут или служат .

Возможно строгость выполнения, ведь когда ты на поту(еда) ты должен есть только специальные продукты. А пост в армии тоже строго выполняется и соблюдается