F(x) = 1/4 x⁴ - x²+5 исследовать функции на минимум и максимум.Если можно то подробнее​

Попробуй по аналогической задаче...
...

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC и углом при вершине B равным 36 градусов проведена биссектриса AD. Докажите что треугольник CDA и ADB равнобедренные?

Найдем все углы треугольника ABC.

угол B=36; A=C=(180-36)/2=72

т. к. AD биссектриса, то углы DAC и DAB - равны и равны они 72/2=36 градусам.

Теперь найдем все углы треугольника ABD.

угол B=36; A=36; D=180-36*2=108 градусам.

Как видно из этого у нас 2 угла равны, а раз два угла равны, значит треугольник ABD - равнобедренный.

Теперь найдем все углы треугольника DAC

угол C=72; A=36; D=180-36-72=72

Как видно из этого у нас 2 угла равны, а раз два угла равны, значит треугольник DAC - равнобедренный

Выразив  
y=a+2-3x и подставив во второе уравнение, получаем  
9x^2+(a+2-3x)^2=5a-2   
18x^2-x(6a+12)+a^2-a+6=0 
D=(6a+12)^2-4*18*(a^2-a+6)  = 36(-a^2+6a-8)  
Откуда -a^2+6a-8>=0 
(a-2)(a-4)<=0
2<=a<=4 
 
 (3x+y)^2=9x^2+y^2+6xy = (5a-2)+6xy=(a+2)^2 
 xy=(a^2-a+6)/6  
 
 Откуда надо найти наибольшее значение  функций 
 f(a) = (a^2-a+6)/6 на отрезке  [2,4] 
 f'(a) = (2a-1)/6 откуда 
 f'(a) = 0 
 a=1/2 
 Подставляя  f(1/2) = 23/24 , на концах f(2) = 4/3 ,  f(4) = 3  
 Откуда при  a=4 максимальное 3 
 ответ a=4