Фигуры из клеточек. Уровень 2.
Артём рисует в клетчатой тетради
фигуры тетрамино. Эти фигуры состоят
из 4-х клеточек, и у каждой клеточки
есть хотя бы одна общая сторона с другой клеточкой. Сколько всего различных фигур он может нарисовать?
Примечание: симметричные фигуры,
как на рисунке, считаются одинаковыми.
Г+К-Ж=13
Г+К+Ж=17
Г-К=1
Г - количество горизонтальных клеточек в тетрамино
К - количество вертикальных клеточек в тетрамино
Ж - количество клеточек, которые соседствуют с главной клеточкой (центральной) тетрамино
Дано:
Г + К - Ж = 13 (Уравнение 1)
Г + К + Ж = 17 (Уравнение 2)
Г - К = 1 (Уравнение 3)
Мы можем использовать систему уравнений для решения этой задачи.
Начнем с выражения одной переменной через другие переменные.
Из уравнения 3 можем выразить Г через К:
Г = К + 1
Подставим это выражение в уравнение 1:
(К+1) + К - Ж = 13
2К + 1 - Ж = 13
2К - Ж = 12
Теперь, выразим Ж через К:
Ж = 2К - 12
Подставим это в уравнение 2:
(К+1) + К + (2К-12) = 17
4К - 11 = 17
4К = 28
К = 7
Теперь, найдем значение Г:
Г = К + 1
Г = 7 + 1
Г = 8
Теперь найдем значение Ж:
Ж = 2К - 12
Ж = 2*7 - 12
Ж = 14 - 12
Ж = 2
Таким образом, мы нашли значения для Г, К и Ж:
Г = 8
К = 7
Ж = 2
Теперь, чтобы вычислить количество различных фигур, которые Артем может нарисовать, нам нужно найти все возможные сочетания Г, К и Ж и учесть возможные симметричные фигуры.
Поскольку у нас 4 клеточки в тетрамино, а каждая клеточка может иметь хотя бы одну общую сторону с другой клеточкой, мы должны учесть все возможные варианты, когда каждая 4-я клеточка соединена с другими клеточками.
Существует 7 основных форм тетрамино (расположение клеточек), которые могут быть повернуты или отражены (симметричные формы):
1. О
O O O O
2. I
O O O O
3. L
O
O O O
4. J
O
O O O
5. S
O O
O O
6. Z
O O
O O
7. T
O
O O O
Каждую из этих основных форм можно повернуть на 90, 180 и 270 градусов, а также отразить относительно вертикали и/или горизонтали, получив новую комбинацию.
Учитывая все эти возможности, общее количество различных фигур тетрамино, которые Артём может нарисовать, равно 7*4 (количество основных форм * количество поворотов и отражений).
Таким образом, Артем может нарисовать 7*4 = 28 различных фигур тетрамино.