У нас есть заданная функция f(x) = 4x^3 + k*tgx, и нам нужно определить значение k, при котором данная функция эквивалентна x, когда x стремится к 0.
Для того, чтобы две функции были эквивалентными, они должны иметь одинаковое значение в пределе. В данном случае, это означает, что предел функции f(x) должен быть равен пределу функции x, когда x стремится к 0.
То есть, мы должны рассмотреть, что происходит с функцией f(x), если x стремится к 0.
Предположим, что x стремится к 0. Поскольку тангенс является тригонометрической функцией, предел tgx можно выразить в виде предела sinx/cosx. Тогда наша исходная функция f(x) примет вид:
f(x) = 4x^3 + k*sinx/cosx
Теперь мы можем проанализировать функцию f(x), когда x стремится к 0. Для этого нам понадобится использовать правило Лопиталя - правило, которое позволяет нам вычислить пределы, когда числитель и знаменатель функции стремятся к нулю или бесконечности.
Применим правило Лопиталя для нашей функции f(x). Для этого найдем производную числителя и знаменателя:
Этот предел существует только при определенных значениях k. Мы должны найти значение k, при котором предел будет равен 1.
lim(x->0) (12x^2 + k*(cosx - sinx)/(cosx)^2) = 1
Для того, чтобы предел был равен 1, выражение должно стремиться к 1, когда x стремится к 0. Заметим, что в числителе у нас есть константа k, которая не меняется при стремлении x к 0. Также в числителе есть функция cosx - sinx, которая также не меняется и имеет значение 0 при x = 0.
Теперь, чтобы выражение стало равным 1 при x стремящемся к 0, нам нужно чтобы только 12x^2 стремилось к 1. Это возможно, только если k = 0.
Итак, значение k, при котором функция f(x) = 4x^3 + k*tgx эквивалентна x при x стремящемся к 0, равно 0.
Таким образом, k должно быть равно 0, чтобы функция была эквивалентна x при стремлении x к 0.
У нас есть заданная функция f(x) = 4x^3 + k*tgx, и нам нужно определить значение k, при котором данная функция эквивалентна x, когда x стремится к 0.
Для того, чтобы две функции были эквивалентными, они должны иметь одинаковое значение в пределе. В данном случае, это означает, что предел функции f(x) должен быть равен пределу функции x, когда x стремится к 0.
То есть, мы должны рассмотреть, что происходит с функцией f(x), если x стремится к 0.
Предположим, что x стремится к 0. Поскольку тангенс является тригонометрической функцией, предел tgx можно выразить в виде предела sinx/cosx. Тогда наша исходная функция f(x) примет вид:
f(x) = 4x^3 + k*sinx/cosx
Теперь мы можем проанализировать функцию f(x), когда x стремится к 0. Для этого нам понадобится использовать правило Лопиталя - правило, которое позволяет нам вычислить пределы, когда числитель и знаменатель функции стремятся к нулю или бесконечности.
Применим правило Лопиталя для нашей функции f(x). Для этого найдем производную числителя и знаменателя:
f'(x) = 12x^2 + k*(cosx - sinx)/(cosx)^2
g'(x) = 1
Заметим, что функция g(x) = x имеет значение 0 при x = 0, и ее производная g'(x) равна 1. Теперь мы можем применить правило Лопиталя, делая следующее:
lim(x->0) f(x)/g(x) = lim(x->0) f'(x)/g'(x)
lim(x->0) (12x^2 + k*(cosx - sinx)/(cosx)^2)/1 = lim(x->0) (12x^2 + k*(cosx - sinx)/(cosx)^2)
Этот предел существует только при определенных значениях k. Мы должны найти значение k, при котором предел будет равен 1.
lim(x->0) (12x^2 + k*(cosx - sinx)/(cosx)^2) = 1
Для того, чтобы предел был равен 1, выражение должно стремиться к 1, когда x стремится к 0. Заметим, что в числителе у нас есть константа k, которая не меняется при стремлении x к 0. Также в числителе есть функция cosx - sinx, которая также не меняется и имеет значение 0 при x = 0.
Теперь, чтобы выражение стало равным 1 при x стремящемся к 0, нам нужно чтобы только 12x^2 стремилось к 1. Это возможно, только если k = 0.
Итак, значение k, при котором функция f(x) = 4x^3 + k*tgx эквивалентна x при x стремящемся к 0, равно 0.
Таким образом, k должно быть равно 0, чтобы функция была эквивалентна x при стремлении x к 0.