Для начала, нам нужно найти первообразную функцию f(x), чтобы понять, как найти значение минимума этой функции.
Итак, для функции f(x)= x^2 -5x+4/√x+2, мы можем применить метод дифференцирования, чтобы найти первообразную. Чтобы дифференцировать функцию, сначала разделим числитель и знаменатель:
f(x) = (x^2 - 5x + 4) / √(x + 2)
Теперь давайте продифференцируем числитель и знаменатель отдельно.
Вот наша первообразная функция, которая является первообразной для исходной функции f(x).
Теперь, чтобы найти значение минимума функции, мы должны найти критические точки. Критическая точка - это точка, в которой производная функции равна нулю или не существует.
Если оба значения равны нулю, то они являются критическими точками, и мы можем найти значение минимума функции, подставив их обратно в исходную функцию f(x).
Надеюсь, это решение будет понятным для школьника и поможет вам решить задачу.
Итак, для функции f(x)= x^2 -5x+4/√x+2, мы можем применить метод дифференцирования, чтобы найти первообразную. Чтобы дифференцировать функцию, сначала разделим числитель и знаменатель:
f(x) = (x^2 - 5x + 4) / √(x + 2)
Теперь давайте продифференцируем числитель и знаменатель отдельно.
Дифференцируя числитель, мы получим:
f'(x) = 2x - 5
Дифференцируя знаменатель, мы получим:
√(x + 2) = (x + 2)^(1/2)
(√(x + 2))' = 1/2 * (x + 2)^(-1/2)
Теперь, когда у нас есть производная числителя и знаменателя, мы можем собрать все вместе, чтобы найти первообразную:
F(x) = ∫ (2x - 5) / [(x + 2)^(1/2)] dx
Для интегрирования этой функции, мы можем использовать метод подстановки. Поэтому, давайте введем замену:
u = x + 2
Тогда, мы можем переписать нашу первообразную следующим образом:
F(x) = ∫ (2(u - 2) - 5) / u^(1/2) du
= ∫ (2u - 4 - 5u^(1/2)) / u^(1/2) du
= ∫ 2u^(1/2) - 4u^(-1/2) - 5 du
Теперь мы можем интегрировать каждое слагаемое отдельно:
F(x) = 2 * ∫ u^(1/2) du - 4 * ∫ u^(-1/2) du - 5 * ∫ 1 du
Известно, что ∫ x^n dx = (x^(n+1)) / (n+1), поэтому:
F(x) = 2 * (u^(3/2)) / (3/2) - 4 * (u^(1/2)) / (1/2) - 5 * (u)
Упростим выражение:
F(x) = 4/3 * u^(3/2) - 8 * u^(1/2) - 5u
Теперь, заменим u обратно на x + 2:
F(x) = 4/3 * (x + 2)^(3/2) - 8 * (x + 2)^(1/2) - 5(x + 2)
Вот наша первообразная функция, которая является первообразной для исходной функции f(x).
Теперь, чтобы найти значение минимума функции, мы должны найти критические точки. Критическая точка - это точка, в которой производная функции равна нулю или не существует.
Давайте найдем производную первообразной функции:
F'(x) = 4/3 * (3/2) * (x + 2)^(1/2) - 8/2 * (x + 2)^(-1/2) - 5
Упростим производную:
F'(x) = 2/3 * (x + 2)^(1/2) - 4/(x + 2)^(1/2) - 5
Теперь, чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю и решим уравнение:
2/3 * (x + 2)^(1/2) - 4/(x + 2)^(1/2) - 5 = 0
Умножим обе стороны уравнения на (x + 2)^(1/2), чтобы избавиться от знаменателя:
2(x + 2) - 4 - 5(x + 2)^(1/2) = 0
2x + 4 - 4 - 5(x + 2)^(1/2) = 0
2x - 5(x + 2)^(1/2) = 0
Теперь, решим это уравнение:
2x = 5(x + 2)^(1/2)
Возведем обе стороны уравнения в квадрат:
4x^2 = 25(x + 2)
4x^2 = 25x + 50
4x^2 - 25x - 50 = 0
Найдем значения x, решая это квадратное уравнение:
x = (25 ± √(25^2 - 4*4*(-50))) / (2*4)
x = (25 ± √(625 + 800)) / 8
x = (25 ± √1425) / 8
Теперь, мы должны проверить, являются ли найденные значения x критическими точками или не существуют.
Подставим найденные значения x обратно в производную F'(x), чтобы проверить:
F'((25 + √1425) / 8) = 2/3 * ((25 + √1425) / 8 + 2)^(1/2) - 4/((25 + √1425) / 8 + 2)^(1/2) - 5
F'((25 - √1425) / 8) = 2/3 * ((25 - √1425) / 8 + 2)^(1/2) - 4/((25 - √1425) / 8 + 2)^(1/2) - 5
Если оба значения равны нулю, то они являются критическими точками, и мы можем найти значение минимума функции, подставив их обратно в исходную функцию f(x).
Надеюсь, это решение будет понятным для школьника и поможет вам решить задачу.