Пример. Решим систему уравнений: {3x+y=7−5x+2y=3Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему: {y=7—3x−5x+2(7−3x)=3Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение: −5x+2(7−3x)=3⇒−5x+14−6x=3⇒⇒−11x=−11⇒x=1Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y: y=7−3⋅1⇒y=4Пара (1;4) — решение системыСистемы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.Решение систем линейных уравнений сложенияРассмотрим еще один решения систем линейных уравнений сложения. При решении систем этим как и при решении подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.Последовательность действий при решении системы линейных уравнений сложения: 1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами; 2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы; 3) решают получившееся уравнение с одной переменной; 4) находят соответствующее значение второй переменной. Пример. Решим систему уравнений: {2x+3y=−5x−3y=38В уравнениях этой системы коэффициенты при y являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной 3x=33. Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением 3x=33. Получим систему {3x=33x−3y=38Из уравнения 3x=33 находим, что x=11. Подставив это значение x в уравнение x−3y=38 получим уравнение с переменной y: 11−3y=38. Решим это уравнение: −3y=27⇒y=−9Таким образом мы нашли решение системмы уравнений сложения: x=11;y=−9 или (11;−9)Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы коэффициенты при y являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (сумировав обе части каждого из уравнений исходной симтемы), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
№ 1. 1) 8у - 3(2у - 3) = 7у - 2(5у + 8), 2) 5(2у - 9) + 6у = 4(3у - 2) - 21,
8y - 6y + 9 = 7y - 10y - 16, 10у - 45 + 6у = 12у - 8 - 21,
2y + 9 =-3у - 16, 16у - 45 = 12у - 29,
2у + 3у = -16 - 9, 16у - 12у = -29 + 45,
5y = -25, 4у = 16,
у = -25 : 5, у = 16 : 4,
y = -5; у = 4;
№ 2. 1) 5(3 - 2у) - 4(9 - у) = 3(у + 5),
15 - 10y - 36 + 4y = 3y + 15,
-6y - 21 = 3у + 15,
-6у - 3у = 15 + 21,
-9y = 36,
у = 36 : (-9),
y = -4;
2) 14(2х - 3) - 5(х + 4) = 2(3х + 5) + 5х,
28x - 42 - 5x - 20 = 6x + 10 + 5x,
23х - 62 = 11х + 10,
23x - 11x = 10 + 62,
12x = 72,
х = 72 : 12,
x = 6;
3) 9(3х - 7) + 3(8х - 11) = 3(9х + 8),
27x - 63 + 24x - 33 = 27x + 24,
51x - 96 = 27х + 24,
51х - 27х = 24 + 96,
24x = 120,
х = 120 : 24,
x = 5;
4) 6(7х - 11) - 13(х - 6) = 14(2х + 1),
42x - 66 - 13x + 78 = 28x + 14,
29x + 12 = 28х + 14,
29x - 28 х = 14 - 12,
х = 2;
№ 3. 1) 1,2х + 7 = 2x + 3, (здесь, видимо, пропущен х)
1,2x - 2х = 3 - 7,
-0,8x = -4,
х = -4 : (-0,8),
x = 5;
2) 8,3 - 2,1х = 2(1,5х + 11,8),
8,3 - 2,1х = 3х + 23,6,
-2,1х - 3х = 23,6 - 8,3,
-5,1х = 15,3,
х = 15,3 : (-5,1),
х = -3;
3) 9(13 - 0,8х) + 6,7 = 7,1х - 5,
117 - 7,2х + 6,7 = 7,1х - 5,
-7,2х + 123,7 = 7,1х - 5,
-7,2х - 7,1х = -5 - 123,7,
-14,3х = -128,7,
х = -128,7 : (-14,3),
х = 9.
{3x+y=7−5x+2y=3Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему:
{y=7—3x−5x+2(7−3x)=3Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:
−5x+2(7−3x)=3⇒−5x+14−6x=3⇒⇒−11x=−11⇒x=1Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y:
y=7−3⋅1⇒y=4Пара (1;4) — решение системыСистемы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.Решение систем линейных уравнений сложенияРассмотрим еще один решения систем линейных уравнений сложения. При решении систем этим как и при решении подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.Последовательность действий при решении системы линейных уравнений сложения:
1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.
Пример. Решим систему уравнений:
{2x+3y=−5x−3y=38В уравнениях этой системы коэффициенты при y являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной 3x=33. Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением 3x=33. Получим систему
{3x=33x−3y=38Из уравнения 3x=33 находим, что x=11. Подставив это значение x в уравнение x−3y=38 получим уравнение с переменной y: 11−3y=38. Решим это уравнение:
−3y=27⇒y=−9Таким образом мы нашли решение системмы уравнений сложения: x=11;y=−9 или (11;−9)Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы коэффициенты при y являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (сумировав обе части каждого из уравнений исходной симтемы), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.